次の閉曲線によって囲まれた図形の面積を求めます。 (1) カージオイド: $x = 2a\cos t - a\cos 2t$, $y = 2a\sin t - a\sin 2t$ ($0 \le t \le 2\pi$) (2) アステロイド: $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$)

1. 問題の内容

次の閉曲線によって囲まれた図形の面積を求めます。

(1) カージオイド: $x = 2a\cos t - a\cos 2t$, $y = 2a\sin t - a\sin 2t$ ($0 \le t \le 2\pi$)

(2) アステロイド: $x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$ ($0 \le t \le 2\pi$)

2. 解き方の手順

(1) カージオイドの場合

面積 $S$ は次の公式で求められます。

$S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} (x\frac{dy}{dt} - y\frac{dx}{dt}) dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算します。

$\frac{dx}{dt} = -2a\sin t + 2a\sin 2t$

$\frac{dy}{dt} = 2a\cos t - 2a\cos 2t$

次に、$x\frac{dy}{dt} - y\frac{dx}{dt}$ を計算します。

$x\frac{dy}{dt} - y\frac{dx}{dt} = (2a\cos t - a\cos 2t)(2a\cos t - 2a\cos 2t) - (2a\sin t - a\sin 2t)(-2a\sin t + 2a\sin 2t)$

$= 4a^2 \cos^2 t - 4a^2 \cos t \cos 2t - 2a^2 \cos 2t \cos t + 2a^2 \cos^2 2t + 4a^2 \sin^2 t - 4a^2 \sin t \sin 2t - 2a^2 \sin 2t \sin t + 2a^2 \sin^2 2t$

$= 4a^2 (\cos^2 t + \sin^2 t) + 2a^2 (\cos^2 2t + \sin^2 2t) - 6a^2 (\cos t \cos 2t + \sin t \sin 2t)$

$= 4a^2 + 2a^2 - 6a^2 \cos(2t - t)$

$= 6a^2 - 6a^2 \cos t$

$= 6a^2(1 - \cos t)$

したがって、面積 $S$ は

$S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} 6a^2(1 - \cos t) dt$

$= 3a^2 \int_{0}^{2\pi} (1 - \cos t) dt$

$= 3a^2 [t - \sin t]_{0}^{2\pi}$

$= 3a^2 (2\pi - \sin 2\pi - (0 - \sin 0))$

$= 3a^2 (2\pi - 0 - 0)$

$= 6\pi a^2$

(2) アステロイドの場合

面積 $S$ は次の公式で求められます。

$S = \int y dx = \int y \frac{dx}{dt} dt$.

$x = a\cos^3 t$, $y = a\sin^3 t$

$\frac{dx}{dt} = -3a\cos^2 t \sin t$

アステロイドは $x$軸、$y$軸に関して対称なので、第1象限の面積を求めて4倍すればよい。

第1象限では、$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$。

$S = 4 \int_{\pi/2}^{0} a\sin^3 t (-3a\cos^2 t \sin t) dt = 12 a^2 \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt$

$\sin^4 t \cos^2 t = (\sin^2 t)^2 \cos^2 t = \left(\frac{1 - \cos(2t)}{2}\right)^2 \frac{1 + \cos(2t)}{2} = \frac{1}{8}(1 - 2\cos(2t) + \cos^2(2t))(1 + \cos(2t)) = \frac{1}{8}(1 - \cos(2t) - \cos^2(2t) + \cos^3(2t)) = \frac{1}{8}(1 - \cos(2t) - \frac{1 + \cos(4t)}{2} + \cos(2t)(1 - \sin^2(2t)))$

$\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt = \frac{1}{8} \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos(2t) - \frac{1 + \cos(4t)}{2} + \cos(2t)(1 - \sin^2(2t))) dt$

$S = 12 a^2 \int_{0}^{\pi/2} (\sin^4 t \cos^2 t) dt = 12a^2 \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2\Gamma(4)} = 12a^2 \frac{\frac{3}{2} \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \frac{1}{2} \sqrt{\pi}}{2*3!} = 12a^2 \frac{3\pi/8}{12} = \frac{3}{8}\pi a^2$

あるいは、

$I(m, n) = \int_{0}^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$

$I(4, 2) = \int_{0}^{\pi/2} \sin^4 t \cos^2 t dt = \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{3}{2})}{2\Gamma(4)} = \frac{\frac{3}{2} \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\pi}}{2 \cdot 3!} = \frac{\frac{3}{8}\pi}{12} = \frac{\pi}{32}$

$S = 12 a^2 \frac{\pi}{32} = \frac{3}{8} \pi a^2$.

3. 最終的な答え

(1) カージオイドの面積: $6\pi a^2$

(2) アステロイドの面積: $\frac{3}{8}\pi a^2$