袋Aには赤球2個、白球1個、袋Bには赤球3個、白球1個が入っている。 (1) 袋A, Bからそれぞれ1個ずつ球を取り出し、箱に入れる。 (i) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率を求める。 (ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出したとき、取り出した球が赤球である確率と、取り出した球が赤球であったときに、それがBの袋に入っていたものである条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

袋Aには赤球2個、白球1個、袋Bには赤球3個、白球1個が入っている。

(1) 袋A, Bからそれぞれ1個ずつ球を取り出し、箱に入れる。

(i) 箱の中の2個の球のうち少なくとも1個が赤球である確率を求める。

(ii) 箱の中をよくかき混ぜてから球を1個取り出したとき、取り出した球が赤球である確率と、取り出した球が赤球であったときに、それがBの袋に入っていたものである条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) (i) 少なくとも1個が赤球である確率を求めるには、2個とも白球である確率を全体から引く方法が簡単である。

Aから白球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。Bから白球を取り出す確率は $\frac{1}{4}$。

よって、2個とも白球である確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。

少なくとも1個が赤球である確率は $1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$。

(ii) 箱から取り出した球が赤球である確率を求める。

Aから赤球、Bから赤球を取り出す確率は $\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。このとき箱の中には赤球2個が入っている。箱から赤球を取り出す確率は1。

Aから赤球、Bから白球を取り出す確率は $\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。このとき箱の中には赤球1個、白球1個が入っている。箱から赤球を取り出す確率は $\frac{1}{2}$。

Aから白球、Bから赤球を取り出す確率は $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$。このとき箱の中には赤球1個、白球1個が入っている。箱から赤球を取り出す確率は $\frac{1}{2}$。

Aから白球、Bから白球を取り出す確率は $\frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$。このとき箱の中には白球2個が入っている。箱から赤球を取り出す確率は0。

箱から赤球を取り出す確率は、

$\frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{6} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{12} \times 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} + \frac{1}{8} = \frac{12}{24} + \frac{2}{24} + \frac{3}{24} = \frac{17}{24}$。

取り出した球が赤球であったときに、それがBの袋に入っていたものである条件付き確率を求める。

これは、Aから白球を取り出し、Bから赤球を取り出す確率を、箱から赤球を取り出す確率で割ればよい。

Aから白球、Bから赤球を取り出す確率は $\frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$。

よって、条件付き確率は $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{17}{24}} = \frac{1}{4} \times \frac{24}{17} = \frac{6}{17}$。

3. 最終的な答え

(i) $\frac{11}{12}$

(ii) $\frac{17}{24}$、$\frac{6}{17}$