以下の連立一次方程式をクラメールの公式を用いて解く問題です。 $\begin{cases} x + 2y + 5z = 9 \\ 4x + 0y + 3z = -5 \\ 2x - 3y + 0z = -13 \end{cases}$

1. 問題の内容

以下の連立一次方程式をクラメールの公式を用いて解く問題です。

$\begin{cases}

x + 2y + 5z = 9 \\

4x + 0y + 3z = -5 \\

2x - 3y + 0z = -13

\end{cases}$

2. 解き方の手順

クラメールの公式を用いるために、まず係数行列の行列式を計算します。

$D = \begin{vmatrix}

1 & 2 & 5 \\

4 & 0 & 3 \\

2 & -3 & 0

\end{vmatrix} = 1(0 - (-9)) - 2(0 - 6) + 5(-12 - 0) = 9 + 12 - 60 = -39$

次に、$x$の解を求めるために、$x$の列を定数項で置き換えた行列の行列式を計算します。

$D_x = \begin{vmatrix}

9 & 2 & 5 \\

-5 & 0 & 3 \\

-13 & -3 & 0

\end{vmatrix} = 9(0 - (-9)) - 2(0 - (-39)) + 5(15 - 0) = 81 - 78 + 75 = 78$

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{78}{-39} = -2$

次に、$y$の解を求めるために、$y$の列を定数項で置き換えた行列の行列式を計算します。

$D_y = \begin{vmatrix}

1 & 9 & 5 \\

4 & -5 & 3 \\

2 & -13 & 0

\end{vmatrix} = 1(0 - (-39)) - 9(0 - 6) + 5(-52 - (-10)) = 39 + 54 + 5(-42) = 93 - 210 = -117$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{-117}{-39} = 3$

次に、$z$の解を求めるために、$z$の列を定数項で置き換えた行列の行列式を計算します。

$D_z = \begin{vmatrix}

1 & 2 & 9 \\

4 & 0 & -5 \\

2 & -3 & -13

\end{vmatrix} = 1(0 - 15) - 2(-52 - (-10)) + 9(-12 - 0) = -15 - 2(-42) + 9(-12) = -15 + 84 - 108 = -39$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{-39}{-39} = 1$

3. 最終的な答え

$x = -2$

$y = 3$

$z = 1$