与えられた $\log_{10}2$ と $\log_{10}3$ の範囲を用いて、以下の問いに答える。 (1) $12^{12}$ の桁数を求める。 (2) $13^{13}$ が 14 桁の整数でないことを示す。 (3) $n^n$ が $n+1$ 桁の整数であるような正の整数 $n$ をすべて求める。

1. 問題の内容

与えられた $\log_{10}2$ と $\log_{10}3$ の範囲を用いて、以下の問いに答える。

(1) $12^{12}$ の桁数を求める。

(2) $13^{13}$ が 14 桁の整数でないことを示す。

(3) $n^n$ が $n+1$ 桁の整数であるような正の整数 $n$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1) $12^{12}$ の桁数を求める。

$\log_{10}12^{12} = 12 \log_{10}12 = 12 \log_{10}(2^2 \cdot 3) = 12(2\log_{10}2 + \log_{10}3)$

与えられた不等式より、

$0.3 < \log_{10}2 < 0.302$

$0.477 < \log_{10}3 < 0.478$

したがって、

$2 \times 0.3 + 0.477 < 2\log_{10}2 + \log_{10}3 < 2 \times 0.302 + 0.478$

$0.6 + 0.477 < 2\log_{10}2 + \log_{10}3 < 0.604 + 0.478$

$1.077 < 2\log_{10}2 + \log_{10}3 < 1.082$

$12 \times 1.077 < 12(2\log_{10}2 + \log_{10}3) < 12 \times 1.082$

$12.924 < \log_{10}12^{12} < 12.984$

したがって、$12^{12}$ は 13 桁である。

(2) $13^{13}$ が 14 桁の整数でないことを示す。

$\log_{10}13^{13} = 13 \log_{10}13 = 13 \log_{10}\frac{130}{10} = 13 (\log_{10}130 - 1)$

ここで、$13^{13}$ が 14 桁の整数であると仮定すると、

$13 \le \log_{10}13^{13} < 14$

$13 \le 13 \log_{10}13 < 14$

$1 \le \log_{10}13 < \frac{14}{13} \approx 1.0769$

$\log_{10}10 < \log_{10}13 < \log_{10}10^{14/13}$

$10 < 13 < 10^{14/13} \approx 11.966$

これは矛盾である。

また、$\log_{10}13 = \log_{10}(3 \times \frac{13}{3}) = \log_{10}3 + \log_{10}\frac{13}{3}$

$\log_{10}13 = \log_{10}(2 \times \frac{13}{2}) = \log_{10}2 + \log_{10}\frac{13}{2}$

$\log_{10}13 = \log_{10}(10 \times 1.3) = 1 + \log_{10}1.3$

$\log_{10}13 = \log_{10}(10 \times \frac{13}{10}) = 1 + \log_{10}\frac{13}{10}$

$\log_{10}13 = 1.1139...$より

$13 \log_{10}13 = 13 \times 1.1139... \approx 14.48$

よって、$13^{13}$ は 15 桁の整数である。したがって、$13^{13}$ は 14 桁の整数ではない。

(3) $n^n$ が $n+1$ 桁の整数であるような正の整数 $n$ をすべて求める。

$n$ 桁の整数 $x$ は、

$10^{n-1} \le x < 10^n$

$n+1$ 桁の整数 $n^n$ は、

$10^n \le n^n < 10^{n+1}$

$n \le n \log_{10}n < n+1$

$1 \le \log_{10}n < 1 + \frac{1}{n}$

$10 \le n < 10^{1 + \frac{1}{n}}$

$n=10$ のとき、$10^{10}$ は 11 桁

$n=11$ のとき、$11^{11} \approx 2.85 \times 10^{11}$ は 12 桁

$n=9$ のとき、$9^9 = 387420489$ は 9 桁

よって、$n=10$ のとき、$10^{10}$ は 11 桁である。

$n = 10$

3. 最終的な答え

(1) 13 桁

(2) $13^{13}$ は14桁の整数でないことを示すことができました。

(3) 10