(9) `computer`の8文字を1列に並べるとき、母音字の`o, u, e`がこの順にあるものは何通りあるか。 (10) 右のような街路で、PからQまで行く最短経路のうち、次の場合は何通りあるか。 (1) 総数 (2) Rを通る経路 (3) R, Sをともに通る経路 (4) ×印の箇所を通らない経路

## 問題の解答

1. 問題の内容

(9) `computer`の8文字を1列に並べるとき、母音字の`o, u, e`がこの順にあるものは何通りあるか。

(10) 右のような街路で、PからQまで行く最短経路のうち、次の場合は何通りあるか。

(1) 総数

(2) Rを通る経路

(3) R, Sをともに通る経路

(4) ×印の箇所を通らない経路

2. 解き方の手順

(9) `computer`の8文字のうち、母音字は `o, u, e` の3つです。

まず、`computer`の8文字を並べる順列の総数は8!通りです。

`o, u, e` の順序が指定されているので、`o, u, e` の並び方は一意に決まります。

つまり、`o, u, e` の並び方の順列は3! = 6 通りありますが、このうち条件を満たすのは1通りだけです。

したがって、求める場合の数は $\frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ 通りです。

(10)

(1) PからQまでの最短経路の総数

PからQまで行くには、右に5回、上に3回移動する必要があります。

したがって、最短経路の総数は、同じものを含む順列の考え方から、

$\frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通りです。

(2) Rを通る経路

PからRまでの最短経路は、右に2回、上に1回移動するので、$\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

RからQまでの最短経路は、右に3回、上に2回移動するので、$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

したがって、Rを通る経路は $3 \times 10 = 30$ 通りです。

(3) R, Sをともに通る経路

PからRまでの最短経路は、上記より3通りです。

RからSまでの最短経路は、右に1回、上に1回移動するので、$\frac{2!}{1!1!} = 2$ 通りです。

SからQまでの最短経路は、右に2回、上に1回移動するので、$\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

したがって、R, Sをともに通る経路は $3 \times 2 \times 3 = 18$ 通りです。

(4) ×印の箇所を通らない経路

まず、PからQまでの総経路数は56通りです。

Pから×印の箇所を通る経路数は、Pから×印の箇所までの経路数××印の箇所からQまでの経路数となります。

Pから×印の箇所までの最短経路は、右に3回、上に2回移動するので、$\frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通りです。

×印の箇所からQまでの最短経路は、右に2回、上に1回移動するので、$\frac{3!}{2!1!} = 3$ 通りです。

したがって、Pから×印の箇所を通る経路数は $10 \times 3 = 30$ 通りです。

×印の箇所を通らない経路数は、総経路数から×印の箇所を通る経路数を引けば求められます。

$56 - 30 = 26$ 通りです。

3. 最終的な答え

(9) 6720 通り

(10)

(1) 56 通り

(2) 30 通り

(3) 18 通り

(4) 26 通り