1から9までの数字が書かれたカードがあり、Aの箱には異なる玉が9個、Bの箱には異なる玉が8個入っています。カードを1枚引いて、3以下の数字が出たらAの箱から3個の玉を取り出し、4以上の数字が出たらBの箱から2個の玉を取り出します。このような玉の取り出し方は全部で何通りあるかを求めます。

1. 問題の内容

1から9までの数字が書かれたカードがあり、Aの箱には異なる玉が9個、Bの箱には異なる玉が8個入っています。カードを1枚引いて、3以下の数字が出たらAの箱から3個の玉を取り出し、4以上の数字が出たらBの箱から2個の玉を取り出します。このような玉の取り出し方は全部で何通りあるかを求めます。

2. 解き方の手順

まず、カードを引いたときにAの箱から玉を取り出す場合と、Bの箱から玉を取り出す場合に分けて考えます。

* Aの箱から玉を取り出す場合：

カードの数字が3以下である確率は、1, 2, 3の3通りなので、確率は $3/9 = 1/3$ です。Aの箱から3個の玉を取り出す組み合わせの数は、9個から3個を選ぶ組み合わせなので、$_9C_3$ で計算できます。

$_9C_3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通り

* Bの箱から玉を取り出す場合：

カードの数字が4以上である確率は、4, 5, 6, 7, 8, 9の6通りなので、確率は $6/9 = 2/3$ です。Bの箱から2個の玉を取り出す組み合わせの数は、8個から2個を選ぶ組み合わせなので、$_8C_2$ で計算できます。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 4 \times 7 = 28$ 通り

Aの箱から玉を取り出す場合とBの箱から玉を取り出す場合を足し合わせることで、全体の取り出し方の数を求めることができます。カードを引く場合の数を考慮に入れると、3以下のカードを引く場合は$_9C_3$通り, 4以上のカードを引く場合は$_8C_2$通りとなります。

取り出し方の総数は、

$(3/9) \times _9C_3 + (6/9) \times _8C_2$

3以下のカードを引く場合は $_9C_3 = 84$通り, 4以上のカードを引く場合は $_8C_2 = 28$通りなので、

Aの箱から3個取り出す場合は、3通り $\times$ 84 = 252通り、

Bの箱から2個取り出す場合は、6通り $\times$ 28 = 168通り

全体の取り出し方は、252 + 168 = 420通り

3. 最終的な答え

420通り