(1) 白球3個、赤球2個が入った袋から3個の球を同時に取り出すとき、取り出した球に含まれる白球の個数 $X$ の期待値を求める問題です。 (2) 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、出た目の差の絶対値 $X$ の期待値を求める問題です。

1. 問題の内容

(1) 白球3個、赤球2個が入った袋から3個の球を同時に取り出すとき、取り出した球に含まれる白球の個数 $X$ の期待値を求める問題です。

(2) 大小2つのサイコロを同時に投げるとき、出た目の差の絶対値 $X$ の期待値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1)

$X$ が取りうる値は、0, 1, 2, 3 です。それぞれの確率を計算します。

* $X=0$ のとき: 白球を1つも取り出さない場合。つまり、赤球を3つ取り出す必要がありますが、赤球は2つしかないので確率は0です。

$P(X=0) = 0$

* $X=1$ のとき: 白球を1つ、赤球を2つ取り出す場合。

$P(X=1) = \frac{{}_3C_1 \times {}_2C_2}{{}_5C_3} = \frac{3 \times 1}{10} = \frac{3}{10}$

* $X=2$ のとき: 白球を2つ、赤球を1つ取り出す場合。

$P(X=2) = \frac{{}_3C_2 \times {}_2C_1}{{}_5C_3} = \frac{3 \times 2}{10} = \frac{6}{10}$

* $X=3$ のとき: 白球を3つ、赤球を0個取り出す場合。

$P(X=3) = \frac{{}_3C_3 \times {}_2C_0}{{}_5C_3} = \frac{1 \times 1}{10} = \frac{1}{10}$

期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) = 0 + 1 \times \frac{3}{10} + 2 \times \frac{6}{10} + 3 \times \frac{1}{10} = \frac{3}{10} + \frac{12}{10} + \frac{3}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} = 1.8$

(2)

大小のサイコロの出た目の差の絶対値 $X$ は、0, 1, 2, 3, 4, 5 のいずれかの値をとります。それぞれの確率を計算します。

全事象は、$6 \times 6 = 36$ 通りです。

* $X=0$ のとき: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) の6通り。

$P(X=0) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* $X=1$ のとき: (1,2), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,3), (4,5), (5,4), (5,6), (6,5) の10通り。

$P(X=1) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

* $X=2$ のとき: (1,3), (3,1), (2,4), (4,2), (3,5), (5,3), (4,6), (6,4) の8通り。

$P(X=2) = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$

* $X=3$ のとき: (1,4), (4,1), (2,5), (5,2), (3,6), (6,3) の6通り。

$P(X=3) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

* $X=4$ のとき: (1,5), (5,1), (2,6), (6,2) の4通り。

$P(X=4) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

* $X=5$ のとき: (1,6), (6,1) の2通り。

$P(X=5) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

期待値 $E(X)$ は、

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) + 3 \times P(X=3) + 4 \times P(X=4) + 5 \times P(X=5) \\

= 0 + 1 \times \frac{10}{36} + 2 \times \frac{8}{36} + 3 \times \frac{6}{36} + 4 \times \frac{4}{36} + 5 \times \frac{2}{36} \\

= \frac{10 + 16 + 18 + 16 + 10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}$

3. 最終的な答え

(1) 1.8

(2) 35/18