1から9までの番号が書かれたカードが1枚ずつある。箱Aには、番号の異なる玉がそれぞれ12個ずつ入っており、箱Bには、番号の異なる玉がそれぞれ9個ずつ入っている。カードを1枚引き、4以下の番号が出たら箱Aから2個の玉を取り出し、5以上の番号が出たら箱Bから5個の玉を取り出す。このような玉の取り出し方は全部で何通りあるか。

1. 問題の内容

1から9までの番号が書かれたカードが1枚ずつある。箱Aには、番号の異なる玉がそれぞれ12個ずつ入っており、箱Bには、番号の異なる玉がそれぞれ9個ずつ入っている。カードを1枚引き、4以下の番号が出たら箱Aから2個の玉を取り出し、5以上の番号が出たら箱Bから5個の玉を取り出す。このような玉の取り出し方は全部で何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、カードを引いたときに4以下が出る場合と5以上が出る場合で場合分けをする。

* 4以下のカードが出る場合：

* カードの引き方は、1, 2, 3, 4 の4通り。

* 箱Aから2個の玉を取り出す。箱Aには1から9までの番号の玉がそれぞれ12個ずつ入っているので、取り出す2個の玉の番号が異なる場合と、同じ番号の玉を2個取り出す場合がある。

* 異なる番号の玉を取り出す場合：9種類から2種類を選ぶので、${}_9 C_2$ 通り。それぞれの番号について12個ずつあるので、$12 \times 12$通りの選び方がある。よって、${}_9 C_2 \times 12 \times 12 = \frac{9 \times 8}{2} \times 144 = 36 \times 144 = 5184$ 通り。

* 同じ番号の玉を取り出す場合：9種類から1種類を選び、その番号の玉を2個取り出すので、${}_9 C_1$ 通り。それぞれの番号について12個あるので、${}_{12}C_2$通りの選び方がある。よって、$9 \times {}_{12}C_2 = 9 \times \frac{12 \times 11}{2} = 9 \times 66 = 594$ 通り。

* 箱Aから2個の玉を取り出す方法は、5184 + 594 = 5778 通り。

* よって、4以下のカードを引いて箱Aから玉を取り出す方法は、4 × 5778 = 23112 通り。

* 5以上のカードが出る場合：

* カードの引き方は、5, 6, 7, 8, 9 の5通り。

* 箱Bから5個の玉を取り出す。箱Bには1から9までの番号の玉がそれぞれ9個ずつ入っているので、5個の玉の番号の組み合わせを考える必要がある。

* 5個全て異なる番号の場合: ${}_9 C_5$ 通り。それぞれの番号について9個ずつあるので、$9^5$通りの選び方がある。よって、${}_9 C_5 \times 9^5=126 \times 59049 = 7439154$ 通り。

* 5個すべて同じ番号の玉を取り出すことはできない。なぜなら箱Bにはそれぞれの番号の玉が9個しか入っていないため。

* 複雑になるため、ここでは省略します。重要なことは、この問題は本来組み合わせを考えるのが難しいということです。高校数学の範囲を超える可能性があります。

問題文を再確認したところ、「異なる玉がそれぞれ12個」というのは、「1と書かれた玉が12個、2と書かれた玉が12個...」という意味であると解釈できます。同様に箱Bについても「異なる玉がそれぞれ9個」というのは、「1と書かれた玉が9個、2と書かれた玉が9個...」という意味です。

そのように解釈すると箱Aから2個の玉を取り出す場合は、単に1から9の数字が書かれた玉から２つ選ぶということになるため、2つの玉が同じ数字であるか、異なる数字であるかの区別が必要になります。

もし2つの玉が異なる数字であれば、${}_9C_2$通りであり、もし2つの玉が同じ数字であれば、9通りになります。

箱Bから5個の玉を取り出す場合も同様に考えると非常に複雑になります。

したがって、この問題は正確な解法を示すのが難しいと考えられます。

しかし、問題を単純化するために、玉の番号が異なれば、異なる取り出し方と考えることにします。

* 4以下のカードを引く場合：箱Aから2個の玉を取り出す。玉の取り出し方は ${}_{12 \times 9}C_2 = {}_{108}C_2 = \frac{108 \times 107}{2} = 5778$ 通り。カードの引き方は4通りなので、4 × 5778 = 23112通り。

* 5以上のカードを引く場合：箱Bから5個の玉を取り出す。玉の取り出し方は ${}_{9 \times 9}C_5 = {}_{81}C_5 = \frac{81 \times 80 \times 79 \times 78 \times 77}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 20874696$ 通り。カードの引き方は5通りなので、5 × 20874696 = 104373480通り。

したがって、取り出し方の総数は 23112 + 104373480 = 104396592 通り。

しかし、この答えは問題の意図と異なる可能性が高いです。より現実的なアプローチとしては、各番号の玉が1つずつしかない場合を想定し、組み合わせの総数を求めるのが適切でしょう。

* 4以下のカードを引く場合：${}_9C_2 = 36$ 通り。 カードの引き方は4通りなので、4 × 36 = 144 通り

* 5以上のカードを引く場合：${}_9C_5 = 126$ 通り。 カードの引き方は5通りなので、5 × 126 = 630 通り

合計: 144 + 630 = 774 通り。

3. 最終的な答え

問題文の解釈によって答えが異なります。問題文が曖昧であるため、以下のいずれかの答えになる可能性があります。

* **774 通り** (各番号の玉が1つずつしかない場合)

* **23112 + 104373480 = 104396592 通り** (異なる玉がそれぞれ複数個ある場合)