問題6：赤球4個と白球3個の合計7個の球が入っている袋から、一度に2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値と、白球の個数の期待値を求めます。 問題7：1枚のコインを投げて、表が出るまでの回数に応じて賞金がもらえます。1回目で表が出れば200円、2回目で表が出れば400円、3回目で表が出れば800円、3回とも裏が出たら0円です。 (1) コインが1回目、2回目、3回目に表が出る確率をそれぞれ求めます。 (2) このゲームが1回400円のとき、期待値を計算して、ゲームに参加するかどうかを理由とともに記述します。

1. 問題の内容

問題6：赤球4個と白球3個の合計7個の球が入っている袋から、一度に2個の球を取り出すとき、取り出した球に含まれる赤球の個数の期待値と、白球の個数の期待値を求めます。

問題7：1枚のコインを投げて、表が出るまでの回数に応じて賞金がもらえます。1回目で表が出れば200円、2回目で表が出れば400円、3回目で表が出れば800円、3回とも裏が出たら0円です。

(1) コインが1回目、2回目、3回目に表が出る確率をそれぞれ求めます。

(2) このゲームが1回400円のとき、期待値を計算して、ゲームに参加するかどうかを理由とともに記述します。

2. 解き方の手順

問題6

(1) 赤球の個数の期待値

取り出し方は全部で $_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通りです。

* 赤球2個を取り出す確率は $\frac{_4C_2}{_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$。このとき赤球の個数は2個。

* 赤球1個、白球1個を取り出す確率は $\frac{_4C_1 \times _3C_1}{_7C_2} = \frac{4 \times 3}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$。このとき赤球の個数は1個。

* 白球2個を取り出す確率は $\frac{_3C_2}{_7C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$。このとき赤球の個数は0個。

赤球の個数の期待値は $2 \times \frac{2}{7} + 1 \times \frac{4}{7} + 0 \times \frac{1}{7} = \frac{4}{7} + \frac{4}{7} = \frac{8}{7}$ 個。

(2) 白球の個数の期待値

* 白球2個を取り出す確率は $\frac{_3C_2}{_7C_2} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$。このとき白球の個数は2個。

* 白球1個、赤球1個を取り出す確率は $\frac{_3C_1 \times _4C_1}{_7C_2} = \frac{3 \times 4}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$。このとき白球の個数は1個。

* 赤球2個を取り出す確率は $\frac{_4C_2}{_7C_2} = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}$。このとき白球の個数は0個。

白球の個数の期待値は $2 \times \frac{1}{7} + 1 \times \frac{4}{7} + 0 \times \frac{2}{7} = \frac{2}{7} + \frac{4}{7} = \frac{6}{7}$ 個。

問題7

(1) コインが1回目、2回目、3回目に表が出る確率

* 1回目で表が出る確率は $\frac{1}{2}$。

* 2回目で初めて表が出る確率は、1回目は裏で2回目は表なので、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。

* 3回目で初めて表が出る確率は、1回目と2回目は裏で3回目は表なので、$\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$。

(2) このゲームが1回400円のとき、期待値を計算してゲームに参加するかどうか

期待値は、

$200 \times \frac{1}{2} + 400 \times \frac{1}{4} + 800 \times \frac{1}{8} + 0 \times \frac{1}{8} = 100 + 100 + 100 + 0 = 300$ 円。

ゲームに参加費が400円なので、期待値300円よりも高いです。したがって、期待値から考えると、このゲームには参加しない方が良いでしょう。

3. 最終的な答え

問題6

(1) 赤球の個数の期待値：$\frac{8}{7}$ 個

(2) 白球の個数の期待値：$\frac{6}{7}$ 個

問題7

(1) 1回目：$\frac{1}{2}$、2回目：$\frac{1}{4}$、3回目：$\frac{1}{8}$

(2) 期待値：300円。ゲームへの参加：参加しない。理由：参加費が400円であるのに対し、期待値が300円と低いため、損をする可能性が高い。