(1) 正六角形の頂点に1から6の番号がついている。サイコロを3回投げ、出た目の番号を結んで三角形ができる確率を求めよ。 (2) 1から400までの整数が1つずつ書かれた400枚のカードから1枚引く。3または7の倍数が出る確率を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 正六角形の頂点に1から6の番号がついている。サイコロを3回投げ、出た目の番号を結んで三角形ができる確率を求めよ。

(2) 1から400までの整数が1つずつ書かれた400枚のカードから1枚引く。3または7の倍数が出る確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、サイコロを3回投げるので、目の出方は全部で $6^3 = 216$ 通りあります。

三角形ができない場合は、3つの点が一直線上にある場合です。

一直線上にある場合は、

(1,4), (2,3), (5,6)

の組み合わせです。

1. 同じ数字が3回出る場合。例えば (1,1,1), (2,2,2)など。このような場合は6通り。

2. 同じ数字が2回出て、残り1つが一直線上になる場合。

例えば、(1,1,4)など。 (1,4,1), (4,1,1)も同様に考えます。

(1,1,4), (1,4,1), (4,1,1), (2,2,3), (2,3,2), (3,2,2), (5,5,6), (5,6,5), (6,5,5)

同じ数が2回出る場合、6通り。残りの1つを決めるのが1通り。並べ方が3通り。したがって、6 * 3 = 18通り。

3. 3つの数字が全て異なる場合。

一直線上に並ぶのは、(1,4,*) などはありえない。

したがって、三角形ができないのは、6 + 18 = 24通り。

三角形ができるのは、216 - (3 * 6 * (6-2)/6 + 6) = 216 - 24 = 192通り

確率 = 192/216 = 8/9

(2)

1から400までの整数のうち、3の倍数は $\lfloor \frac{400}{3} \rfloor = 133$ 個。

1から400までの整数のうち、7の倍数は $\lfloor \frac{400}{7} \rfloor = 57$ 個。

1から400までの整数のうち、3と7の公倍数、つまり21の倍数は $\lfloor \frac{400}{21} \rfloor = 19$ 個。

3または7の倍数は、3の倍数の個数 + 7の倍数の個数 - 3と7の公倍数の個数で求められる。

133 + 57 - 19 = 171個。

確率は $\frac{171}{400}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{9}$

(2) $\frac{171}{400}$