（1）正六角形の頂点に1から6の番号が付いている。サイコロを3回投げ、出た目の番号を結んで三角形ができる確率を求める。 （2）1から400までの整数が1つずつ書かれた400枚のカードから1枚引く。3または7の倍数が出る確率を求める。

1. 問題の内容

（1）正六角形の頂点に1から6の番号が付いている。サイコロを3回投げ、出た目の番号を結んで三角形ができる確率を求める。

（2）1から400までの整数が1つずつ書かれた400枚のカードから1枚引く。3または7の倍数が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、サイコロを3回投げた時の目の出方の総数は、$6 \times 6 \times 6 = 216$通りである。

次に、三角形ができない場合を考える。

- 3つの目が同じ場合：6通り (1,1,1), (2,2,2), ..., (6,6,6)

- 3つの目が一直線上に並ぶ場合： 例えば(1,4)のような間隔が2個空いた場合

例えば(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),(5,6,1),(6,1,2)の順列が6通りある。

同様に考えると(1,3,5), (2,4,6) の順列があるので、$2 \times 3!=12$通り

この他には(1,2,4),(2,3,5),(3,4,6),(4,5,1),(5,6,2),(6,1,3)の場合がある.

これの並び方が$6 \times 6 = 36$通り

同様に(1,2,5),(2,3,6),(3,4,1),(4,5,2),(5,6,3),(6,1,4)の場合がある.

これの並び方が$6 \times 6 = 36$通り

一直線に並ぶ場合は、$6\times 3 =18$通り

合計すると、$18 + 36 \times 2 = 90$

ただし、この計算方法は正しくない。

一直線上に並ぶ場合を考慮する必要がある。

例えば、(1,2,3)のように隣り合う3つの数が出た場合は、一直線上に並ぶので三角形ができない。このような組み合わせは6通りあり、それぞれに3! = 6通りの出方があるので、6 x 6 = 36通り。

また、(1,3,5)や(2,4,6)のように、一つ飛ばしの数が出た場合も一直線上に並ぶので三角形ができない。このような組み合わせは2通りあり、それぞれに3! = 6通りの出方があるので、2 x 6 = 12通り。

これらを全て足し合わせると、36 + 12 = 48通り。

三角形ができないのは、$6 + 36 + 12=48$通りである。

3つの点が一直線上にない場合を考える。

すべての組み合わせから一直線上に並ぶ組み合わせを引くと、三角形ができる組み合わせの数となる。

$216 - 6 - 36 - 12 = 162$ 通り

三角形ができる確率は $\frac{162}{216} = \frac{3}{4}$

(2)

1から400までの整数のうち、3の倍数は$\lfloor \frac{400}{3} \rfloor = 133$個ある。

1から400までの整数のうち、7の倍数は$\lfloor \frac{400}{7} \rfloor = 57$個ある。

1から400までの整数のうち、3と7の公倍数（21の倍数）は$\lfloor \frac{400}{21} \rfloor = 19$個ある。

3または7の倍数の個数は、3の倍数の個数と7の倍数の個数を足し、3と7の公倍数の個数を引くことで求められる。

$133 + 57 - 19 = 171$個

したがって、3または7の倍数が出る確率は、$\frac{171}{400}$である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{4}$

(2) $\frac{171}{400}$