与えられた微分方程式 $y' - y = t$ を初期条件 $y(0) = 0$ の下で解く。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' - y = t$ を初期条件 $y(0) = 0$ の下で解く。

2. 解き方の手順

この微分方程式は1階線形微分方程式なので、積分因子を求めることで解くことができる。

ステップ1：積分因子を求める。

微分方程式を $y' + p(t)y = q(t)$ の形にすると、$p(t) = -1$、$q(t) = t$ となる。積分因子 $\mu(t)$ は、

$\mu(t) = e^{\int p(t) dt} = e^{\int -1 dt} = e^{-t}$

となる。

ステップ2：微分方程式の両辺に積分因子をかける。

$e^{-t}y' - e^{-t}y = te^{-t}$

ステップ3：左辺を積の微分としてまとめる。

$\frac{d}{dt}(e^{-t}y) = te^{-t}$

ステップ4：両辺を積分する。

$\int \frac{d}{dt}(e^{-t}y) dt = \int te^{-t} dt$

$e^{-t}y = \int te^{-t} dt$

ステップ5：右辺を部分積分する。

$\int te^{-t} dt = -te^{-t} - \int (-e^{-t}) dt = -te^{-t} - e^{-t} + C$

したがって、

$e^{-t}y = -te^{-t} - e^{-t} + C$

ステップ6：$y(t)$ について解く。

$y(t) = -t - 1 + Ce^{t}$

ステップ7：初期条件 $y(0) = 0$ を用いて積分定数 $C$ を求める。

$y(0) = -0 - 1 + Ce^{0} = -1 + C = 0$

したがって、$C = 1$

ステップ8：解を求める。

$y(t) = -t - 1 + e^{t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = e^t - t - 1$