(3) $\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3$ を計算する。 (4) $\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{5}} 5$ を計算する。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

(3) $\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3$ を計算する。

(4) $\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{5}} 5$ を計算する。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$\sqrt[5]{72}$ を変形します。

$72 = 2^3 \cdot 3^2$ なので、$\sqrt[5]{72} = \sqrt[5]{2^3 \cdot 3^2} = 2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}$ となります。

よって、

$\log_2 \sqrt[5]{72} - \frac{2}{5} \log_2 3 = \log_2 (2^{\frac{3}{5}} \cdot 3^{\frac{2}{5}}) - \frac{2}{5} \log_2 3$

$= \log_2 2^{\frac{3}{5}} + \log_2 3^{\frac{2}{5}} - \frac{2}{5} \log_2 3$

$= \frac{3}{5} \log_2 2 + \frac{2}{5} \log_2 3 - \frac{2}{5} \log_2 3$

$= \frac{3}{5} \cdot 1 + 0$

$= \frac{3}{5}$

(4)

$\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{5}} 5$ を計算します。

まず、$\log_{\frac{1}{5}} 5$ を計算します。

$\log_{\frac{1}{5}} 5 = x$ とおくと、$(\frac{1}{5})^x = 5$ となります。

これは、$5^{-x} = 5^1$ となるので、$x = -1$ です。

よって、$\log_{\frac{1}{5}} 5 = -1$ となります。

次に、$\log_9 5$ を底を3に変換します。

$\log_9 5 = \frac{\log_3 5}{\log_3 9} = \frac{\log_3 5}{2}$ となります。

したがって、

$\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{5}} 5 = \frac{\log_3 5}{2} + \frac{1}{2} (-1)$

$= \frac{\log_3 5}{2} - \frac{1}{2}$

$= \frac{\log_3 5 - 1}{2}$

$= \frac{\log_3 5 - \log_3 3}{2}$

$= \frac{\log_3 \frac{5}{3}}{2}$

別解として、$\log_9 5$ の底を5に変更する。

$\log_9 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 9} = \frac{1}{\log_5 9} = \frac{1}{\log_5 3^2} = \frac{1}{2\log_5 3}$

$\frac{1}{2} \log_{\frac{1}{5}} 5 = \frac{1}{2} (-1) = -\frac{1}{2}$

$\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{5}} 5 = \frac{1}{2\log_5 3} - \frac{1}{2} = \frac{1 - \log_5 3}{2\log_5 3}$

$\frac{\log_3 5 - 1}{2} = \frac{\frac{\log_5 5}{\log_5 3} - 1}{2} = \frac{\frac{1}{\log_5 3} - 1}{2} = \frac{1 - \log_5 3}{2\log_5 3}$

また、$\log_9 5 = \frac{\log 5}{\log 9}$ なので、

$\log_9 5 + \frac{1}{2} \log_{\frac{1}{5}} 5 = \frac{\log 5}{\log 9} + \frac{1}{2} \cdot (-1) = \frac{\log 5}{2 \log 3} - \frac{1}{2} = \frac{\log 5 - \log 3}{2 \log 3} = \frac{\log(5/3)}{2 \log 3}$

よって、$\frac{\log(5/3)}{2 \log 3} = \frac{\log_3(5/3)}{2}$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{3}{5}$

(4) $\frac{\log_3 (5/3)}{2}$

または $\frac{\log(5/3)}{2 \log 3}$

または $\frac{1 - \log_5 3}{2\log_5 3}$