$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とする。 (1) $a$ の分母を有理化せよ。 (2) $a + \frac{2}{a}$, $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。 (3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}$ とする。

(1) $a$ の分母を有理化せよ。

(2) $a + \frac{2}{a}$, $a^2 + \frac{4}{a^2}$ の値を求めよ。

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $a$ の分母を有理化する。

$a = \frac{4}{3\sqrt{2} - \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} - \sqrt{10})(3\sqrt{2} + \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} + \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$ を求める。

$\frac{2}{a} = \frac{2}{\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2} + \sqrt{10}} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{(3\sqrt{2} + \sqrt{10})(3\sqrt{2} - \sqrt{10})} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{18 - 10} = \frac{4(3\sqrt{2} - \sqrt{10})}{8} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2}$

$a + \frac{2}{a} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2} + \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{10}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2}$ を求める。

$a^2 + \frac{4}{a^2} = (a + \frac{2}{a})^2 - 2(a)(\frac{2}{a}) = (3\sqrt{2})^2 - 4 = 18 - 4 = 14$

(3) $a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1$ の値を求める。

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})^2 - \frac{8}{a^2} - 1 = (a^2 - \frac{4}{a^2})^2 - 2(\frac{4}{a^2}) - 1$

ここで、$a^2 = (\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2})^2 = \frac{18 + 2\cdot 3\sqrt{20} + 10}{4} = \frac{28 + 6\sqrt{20}}{4} = \frac{28 + 12\sqrt{5}}{4} = 7 + 3\sqrt{5}$

$\frac{4}{a^2} = \frac{4}{7 + 3\sqrt{5}} = \frac{4(7 - 3\sqrt{5})}{49 - 45} = \frac{4(7 - 3\sqrt{5})}{4} = 7 - 3\sqrt{5}$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = 7 + 3\sqrt{5} - (7 - 3\sqrt{5}) = 6\sqrt{5}$

$a^4 - \frac{16}{a^4} - \frac{8}{a^2} - 1 = (6\sqrt{5})^2 - 2(7 - 3\sqrt{5}) - 1 = 180 - 14 + 6\sqrt{5} - 1 = 165 + 6\sqrt{5}$

間違いです。

$a^4-\frac{16}{a^4}-\frac{8}{a^2}-1=(a^2-\frac{4}{a^2})(a^2+\frac{4}{a^2})-\frac{8}{a^2}-1$

$=(a^2-\frac{4}{a^2})(14)-\frac{8}{a^2}-1=(6\sqrt{5})(14)-2(7-3\sqrt{5})-1=84\sqrt{5}-14+6\sqrt{5}-1=90\sqrt{5}-15$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{10}}{2}$

(2) $a + \frac{2}{a} = 3\sqrt{2}$ , $a^2 + \frac{4}{a^2} = 14$

(3) $90\sqrt{5}-15$