2つの放物線 $y=2x^2-12x+17$ と $y=ax^2+6x+b$ の頂点が一致するように、定数 $a$, $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y=2x^2-12x+17$ と $y=ax^2+6x+b$ の頂点が一致するように、定数 $a$, $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの放物線を平方完成して、頂点の座標を求めます。

放物線 $y=2x^2-12x+17$ について、

\begin{align*}

y &= 2(x^2-6x) + 17 \\

&= 2(x^2 - 6x + 9 - 9) + 17 \\

&= 2((x-3)^2 - 9) + 17 \\

&= 2(x-3)^2 - 18 + 17 \\

&= 2(x-3)^2 - 1

\end{align*}

よって、頂点の座標は $(3, -1)$ です。

次に、放物線 $y=ax^2+6x+b$ について、

\begin{align*}

y &= a(x^2 + \frac{6}{a}x) + b \\

&= a(x^2 + \frac{6}{a}x + (\frac{3}{a})^2 - (\frac{3}{a})^2) + b \\

&= a((x+\frac{3}{a})^2 - \frac{9}{a^2}) + b \\

&= a(x+\frac{3}{a})^2 - \frac{9}{a} + b

\end{align*}

よって、頂点の座標は $(-\frac{3}{a}, -\frac{9}{a}+b)$ です。

2つの放物線の頂点が一致するので、

\begin{align*}

-\frac{3}{a} &= 3 \\

-\frac{9}{a} + b &= -1

\end{align*}

$-\frac{3}{a} = 3$ より $a = -1$

$-\frac{9}{a} + b = -1$ に $a=-1$ を代入すると、

$9 + b = -1$ より $b = -10$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = -10$