2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています。ここで、$a$ は正の定数です。 (1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。 (2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求め、このとき $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めます。 (3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > \frac{1}{2}$ を満たす定数 $t$ に対して、$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M$ を $t$ を用いて表し、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ が与えられています。ここで、$a$ は正の定数です。

(1) $y = f(x)$ のグラフの頂点の座標を $a$ を用いて表します。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値が $8$ であるとき、$a$ の値を求め、このとき $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最大値を求めます。

(3) $a$ を (2) で求めた値とし、$t > \frac{1}{2}$ を満たす定数 $t$ に対して、$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値を $M$、最小値を $m$ とするとき、$M$ を $t$ を用いて表し、$M - m = 3$ となるような $t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = x^2 - 4x + a^2 - a$ を平方完成します。

$f(x) = (x - 2)^2 - 4 + a^2 - a$

よって、頂点の座標は $(2, a^2 - a - 4)$ となります。

(2) $0 \le x \le 3$ における $f(x)$ の最小値を考えます。頂点の $x$ 座標は $x = 2$ で、$0 \le x \le 3$ に含まれます。したがって、最小値は $f(2) = a^2 - a - 4 = 8$ となります。

$a^2 - a - 12 = 0$

$(a - 4)(a + 3) = 0$

$a$ は正の定数なので、$a = 4$ です。

このとき、$f(x) = x^2 - 4x + 16 - 4 = x^2 - 4x + 12$ となります。

$0 \le x \le 3$ における最大値は、$x = 0$ のとき $f(0) = 12$、$x = 3$ のとき $f(3) = 9 - 12 + 12 = 9$ なので、最大値は $12$ です。

(3) $a = 4$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 12$ です。

$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最大値 $M$ と最小値 $m$ を求めます。

軸 $x = 2$ と区間 $t \le x \le t+3$ の位置関係で場合分けします。

- $t+3 \le 2$、つまり $t \le -1$ のとき、区間内で $f(x)$ は減少するので、$x = t$ で最大、$x = t+3$ で最小となります。

- $t \le 2 \le t+3$、つまり $-1 \le t \le 2$ のとき、区間内に軸が含まれるので、$x = 2$ で最小となります。

- $t > 2$ のとき、区間内で $f(x)$ は増加するので、$x = t+3$ で最大、$x = t$ で最小となります。

今回は $t > \frac{1}{2}$ なので、$t > 2$ と $-1 \le t \le 2$ の場合を考えます。

$t \le x \le t+3$ における $f(x)$ の最小値を $m$ とすると、

$f(2) = 4 - 8 + 12 = 8$ です。

$M - m = 3$ より、$M = m + 3 = 8 + 3 = 11$ となります。

(i) $2 < t$ のとき、$x=t+3$ で最大となる。

$f(t+3) = (t+3)^2 - 4(t+3) + 12 = t^2 + 6t + 9 - 4t - 12 + 12 = t^2 + 2t + 9$

$t^2 + 2t + 9 = 11$

$t^2 + 2t - 2 = 0$

$t = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$t > 2$ より $t = -1 + \sqrt{3}$ は不適。$t = -1 - \sqrt{3}$ も不適。

(ii) $\frac{1}{2} < t \le 2$ のとき、$f(t)=t^2-4t+12$と$f(t+3)=(t+3)^2-4(t+3)+12=t^2+2t+9$を比較する。

頂点$x=2$を区間内に含むので最小値は$m=f(2)=8$

区間の端点の$f(t)=t^2-4t+12$と$f(t+3)=t^2+2t+9$を比べる。

$M = \max(f(t), f(t+3))$

$M = 11$より$f(t)=11$もしくは$f(t+3)=11$

$f(t)=11$のとき$t^2-4t+12=11$、$t^2-4t+1=0$

$t=\frac{4\pm\sqrt{16-4}}{2}=2\pm\sqrt{3}$。$t \le 2$なので$t=2-\sqrt{3}$。$\frac{1}{2} < 2-\sqrt{3} \le 2$を満たす。

$f(t+3)=11$のとき$t^2+2t+9=11$、$t^2+2t-2=0$

$t=\frac{-2\pm\sqrt{4+8}}{2}=-1\pm\sqrt{3}$。$t \le 2$より$t=-1+\sqrt{3}$。$\frac{1}{2} < -1+\sqrt{3} \le 2$を満たす。

$t = 2 - \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標: $(2, a^2 - a - 4)$

(2) $a = 4$、最大値: $12$

(3) $M = \begin{cases} (t+3)^2 - 4(t+3) + 12 & t > 2 \\ \max(t^2-4t+12, t^2+2t+9) & \frac{1}{2} < t \le 2 \end{cases}$

$t = 2 - \sqrt{3}$