格子状の道路網において、A地点からB地点まで最短経路で行く場合の数を求める問題です。 (1) A地点からB地点へ行く場合の総数を求めます。 (2) 途中でC地点とD地点の両方を通る場合の数を求めます。

1. 問題の内容

格子状の道路網において、A地点からB地点まで最短経路で行く場合の数を求める問題です。

(1) A地点からB地点へ行く場合の総数を求めます。

(2) 途中でC地点とD地点の両方を通る場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A地点からB地点へ行く場合の総数

A地点からB地点へ行くには、右に6回、上に4回移動する必要があります。

したがって、合計10回の移動のうち、右方向への移動6回の選び方を考えればよいです。

これは、10個の場所から6個を選ぶ組み合わせの数なので、

$_{10}C_6$で計算できます。

$_{10}C_6 = \frac{10!}{6!4!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) 途中でC, D両地点を通る場合

まず、A地点からC地点へ行く経路の数を考えます。

C地点へ行くには、右に1回、上に1回移動する必要があります。

したがって、合計2回の移動のうち、右方向への移動1回の選び方を考えればよいので、

$_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$通りです。

次に、C地点からD地点へ行く経路の数を考えます。

D地点へ行くには、右に1回、上に1回移動する必要があります。

したがって、合計2回の移動のうち、右方向への移動1回の選び方を考えればよいので、

$_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$通りです。

次に、D地点からB地点へ行く経路の数を考えます。

B地点へ行くには、右に4回、上に2回移動する必要があります。

したがって、合計6回の移動のうち、右方向への移動4回の選び方を考えればよいので、

$_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通りです。

したがって、A地点からC地点を経由し、C地点からD地点を経由し、D地点からB地点へ行く経路の数は、

$2 \times 2 \times 15 = 60$通りです。

3. 最終的な答え

(1) 210通り

(2) 60通り