問題7では、$\sqrt{256}$ と $\sqrt{784}$ の値を求める問題です。 問題8では、$\sqrt{108a}$ が自然数となるような最小の自然数 $a$ の値を求め、そのときの$\sqrt{108a}$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

問題7では、$\sqrt{256}$ と $\sqrt{784}$ の値を求める問題です。

問題8では、$\sqrt{108a}$ が自然数となるような最小の自然数 $a$ の値を求め、そのときの$\sqrt{108a}$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題7 (1):

$\sqrt{256}$ を計算します。256は16の2乗なので、$\sqrt{256} = 16$です。

問題7 (2):

$\sqrt{784}$ を計算します。784は28の2乗なので、$\sqrt{784} = 28$です。

問題8:

$\sqrt{108a}$ が自然数になるような最小の自然数 $a$ を求めます。

まず、108を素因数分解します。

$108 = 2^2 \times 3^3$

したがって、$\sqrt{108a} = \sqrt{2^2 \times 3^3 \times a} = 2 \times 3 \times \sqrt{3a} = 6\sqrt{3a}$となります。

$\sqrt{108a}$ が自然数になるためには、$\sqrt{3a}$ が自然数になる必要があります。

そのためには、$3a$ が平方数になる必要があります。

$a$ は自然数なので、最小の $a$ は $a=3$ のとき、$3a = 3 \times 3 = 9 = 3^2$ となり、平方数になります。

よって、$\sqrt{108a}$ が自然数になるような最小の自然数 $a$ は 3 です。

このとき、$\sqrt{108a} = \sqrt{108 \times 3} = \sqrt{324} = 18$ です。

3. 最終的な答え

問題7 (1): 16

問題7 (2): 28

問題8:

最小の $a$ は 3 です。

そのときの$\sqrt{108a}$ の値は 18 です。