$\sqrt{108} + \sqrt{75}$を計算して、できるだけ簡単な形で表す。

1. 問題の内容

$\sqrt{108} + \sqrt{75}$を計算して、できるだけ簡単な形で表す。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの根号の中の数を素因数分解します。

$108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2^2 \times 3 \times 9 = 2^2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3$

$75 = 3 \times 25 = 3 \times 5 \times 5 = 3 \times 5^2$

次に、これらの結果を元の式に代入します。

$\sqrt{108} + \sqrt{75} = \sqrt{2^2 \times 3^3} + \sqrt{3 \times 5^2}$

根号の中から、2乗の形になっているものを取り出します。

$\sqrt{2^2 \times 3^3} = \sqrt{2^2 \times 3^2 \times 3} = 2 \times 3 \times \sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$\sqrt{3 \times 5^2} = 5\sqrt{3}$

最後に、これらの結果を足し合わせます。

$6\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = (6+5)\sqrt{3} = 11\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$11\sqrt{3}$