右の図のような道のある地域で、以下の条件でAからBまで行く最短の道順が何通りあるか答える問題です。 (1) AからBまで行く。 (2) AからCを通ってBまで行く。 (3) AからCを通らずにBまで行く。

1. 問題の内容

右の図のような道のある地域で、以下の条件でAからBまで行く最短の道順が何通りあるか答える問題です。

(1) AからBまで行く。

(2) AからCを通ってBまで行く。

(3) AからCを通らずにBまで行く。

2. 解き方の手順

(1) AからBまで行く場合

AからBまで行くには、右に3回、下に2回移動する必要があります。

したがって、全部で5回の移動のうち、右に3回移動する組み合わせの数を求めればよいので、

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{}_5C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10

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AからBまで行く最短の道順は10通りです。

(2) AからCを通ってBまで行く場合

AからCまで行くには、右に1回、下に1回移動する必要があります。

したがって、全部で2回の移動のうち、右に1回移動する組み合わせの数を求めればよいので、

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{}_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2

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AからCまで行く最短の道順は2通りです。

CからBまで行くには、右に2回、下に1回移動する必要があります。

したがって、全部で3回の移動のうち、右に2回移動する組み合わせの数を求めればよいので、

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{}_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3

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CからBまで行く最短の道順は3通りです。

AからCを通ってBまで行く最短の道順は、AからCまでの道順とCからBまでの道順の積で求められるので、

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2 \times 3 = 6

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AからCを通ってBまで行く最短の道順は6通りです。

(3) AからCを通らずにBまで行く場合

AからBまで行く最短の道順の総数から、AからCを通ってBまで行く最短の道順の数を引けば、AからCを通らずにBまで行く最短の道順の数が求められます。

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10 - 6 = 4

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AからCを通らずにBまで行く最短の道順は4通りです。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 6通り

(3) 4通り