ド・モルガンの法則を用いて、以下の2つの等式を証明する。 (1) $\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$ (2) $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$

1. 問題の内容

ド・モルガンの法則を用いて、以下の2つの等式を証明する。

(1) $\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

(2) $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$

2. 解き方の手順

ド・モルガンの法則は、一般に2つの集合に対して以下のように定義される。

$\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}$

$\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}$

これらの法則を繰り返し適用することで、3つ以上の集合に対するド・モルガンの法則を導出できる。

(1) $\overline{A \cup B \cup C} = \overline{(A \cup B) \cup C}$ と変形する。

次に、2つの集合に対するド・モルガンの法則を適用して、

$\overline{(A \cup B) \cup C} = \overline{(A \cup B)} \cap \overline{C}$ を得る。

さらに、$\overline{(A \cup B)}$にド・モルガンの法則を適用して、

$\overline{(A \cup B)} = \overline{A} \cap \overline{B}$ となる。

よって、$\overline{A \cup B \cup C} = (\overline{A} \cap \overline{B}) \cap \overline{C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$ が証明された。

(2) $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{(A \cap B) \cap C}$ と変形する。

次に、2つの集合に対するド・モルガンの法則を適用して、

$\overline{(A \cap B) \cap C} = \overline{(A \cap B)} \cup \overline{C}$ を得る。

さらに、$\overline{(A \cap B)}$にド・モルガンの法則を適用して、

$\overline{(A \cap B)} = \overline{A} \cup \overline{B}$ となる。

よって、$\overline{A \cap B \cap C} = (\overline{A} \cup \overline{B}) \cup \overline{C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$ が証明された。

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A \cup B \cup C} = \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}$

(2) $\overline{A \cap B \cap C} = \overline{A} \cup \overline{B} \cup \overline{C}$