サイコロの目が1から6なので、賞金は200円, 400円, 600円, 800円, 1000円, 1200円である。参加費が500円なので、得られるお金$X$は-300円, -100円, 100円, 300円, 500円, 700円となる。

## 問題1の内容

1から6の目が等しい確率で出るサイコロを投げ、出た目 $\times$ 200円が賞金としてもらえる。ただし、1回サイコロを投げるのに500円の参加費が必要である。このゲームで得られるお金（賞金 - 参加費）を確率変数$X$とするとき、$X$の分散$V[X]$を求める。

## 解き方の手順

1. 確率変数$X$の取りうる値を求める。

サイコロの目が1から6なので、賞金は200円, 400円, 600円, 800円, 1000円, 1200円である。参加費が500円なので、得られるお金$X$は-300円, -100円, 100円, 300円, 500円, 700円となる。

2. 確率変数$X$の期待値$E[X]$を求める。

各目の出る確率は$\frac{1}{6}$なので、$X$の期待値は、

$E[X] = \frac{1}{6}(-300) + \frac{1}{6}(-100) + \frac{1}{6}(100) + \frac{1}{6}(300) + \frac{1}{6}(500) + \frac{1}{6}(700)$

$E[X] = \frac{1}{6}(-300 - 100 + 100 + 300 + 500 + 700)$

$E[X] = \frac{1}{6}(1200) = 200$

3. 確率変数$X^2$の期待値$E[X^2]$を求める。

$E[X^2] = \frac{1}{6}(-300)^2 + \frac{1}{6}(-100)^2 + \frac{1}{6}(100)^2 + \frac{1}{6}(300)^2 + \frac{1}{6}(500)^2 + \frac{1}{6}(700)^2$

$E[X^2] = \frac{1}{6}(90000 + 10000 + 10000 + 90000 + 250000 + 490000)$

$E[X^2] = \frac{1}{6}(940000) = \frac{470000}{3}$

4. 分散$V[X]$を求める。

分散の公式 $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ を用いる。

$V[X] = \frac{470000}{3} - (200)^2$

$V[X] = \frac{470000}{3} - 40000$

$V[X] = \frac{470000 - 120000}{3}$

$V[X] = \frac{350000}{3}$

## 最終的な答え

$\frac{350000}{3}$