$X_1, X_2, ..., X_n$ はそれぞれ独立に正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数である。これらの確率変数の標本平均 $Y = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ を考える。このとき、$Y$ が従う分布、その期待値 $E[Y]$、分散 $V[Y]$ を求め、$n$ が大きくなるにつれてどのような性質を持つかを記述する問題である。

1. 問題の内容

$X_1, X_2, ..., X_n$ はそれぞれ独立に正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従う確率変数である。これらの確率変数の標本平均 $Y = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ を考える。このとき、$Y$ が従う分布、その期待値 $E[Y]$、分散 $V[Y]$ を求め、$n$ が大きくなるにつれてどのような性質を持つかを記述する問題である。

2. 解き方の手順

(1) $X_i$ が正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、それらの線形結合も正規分布に従う。したがって、$Y = \frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}$ も正規分布に従う。

(2) $E[Y]$ を求める。期待値の線形性より、

$E[Y] = E[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] = \frac{1}{n} (E[X_1] + E[X_2] + ... + E[X_n])$

各 $X_i$ は期待値 $\mu$ を持つため、

$E[Y] = \frac{1}{n} (n\mu) = \mu$

(3) $V[Y]$ を求める。分散の性質より、$V[aX] = a^2 V[X]$ が成り立つ。また、$X_i$ は独立であるため、$V[X_1 + X_2 + ... + X_n] = V[X_1] + V[X_2] + ... + V[X_n]$ が成り立つ。よって、

$V[Y] = V[\frac{X_1 + X_2 + ... + X_n}{n}] = \frac{1}{n^2} (V[X_1] + V[X_2] + ... + V[X_n])$

各 $X_i$ は分散 $\sigma^2$ を持つため、

$V[Y] = \frac{1}{n^2} (n\sigma^2) = \frac{\sigma^2}{n}$

(4) $n$ が大きくなるにつれて、分散 $V[Y] = \frac{\sigma^2}{n}$ は 0 に近づく。これは、標本平均 $Y$ が母平均 $\mu$ に近づくことを意味する。

3. 最終的な答え

(1) $Y$ は正規分布に従う。

(2) $E[Y] = \mu$

(3) $V[Y] = \frac{\sigma^2}{n}$

(4) $n$ が大きくなるにつれて、$Y$ の分散は 0 に近づき、$Y$ は $\mu$ に集中する。