赤玉2個と白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てからもとに戻す。この試行を6回行うとき、6回目に3度目の赤玉が出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉2個と白玉4個が入った袋から玉を1個取り出し、色を見てからもとに戻す。この試行を6回行うとき、6回目に3度目の赤玉が出る確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で赤玉が出る確率を計算する。

袋の中に赤玉が2個、白玉が4個入っているので、赤玉が出る確率は $2/6 = 1/3$ である。

次に、5回目までに赤玉が2回出て、6回目に赤玉が出る確率を計算する。

5回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布で計算できる。

二項分布の確率質量関数は以下の通り。

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n=5$ (試行回数)、$k=2$ (赤玉が出る回数)、$p=1/3$ (赤玉が出る確率)である。

したがって、5回までに赤玉が2回出る確率は、

$P(X = 2) = \binom{5}{2} (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3$

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}$

$P(X = 2) = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$

6回目に赤玉が出る確率は $1/3$ なので、求める確率は、

$\frac{80}{243} \times \frac{1}{3} = \frac{80}{729}$

3. 最終的な答え

$\frac{80}{729}$