$R^n$ のベクトルの組 $\{x_1, ..., x_r\}$ が一次独立であることと、行列 $G$ の行列式が 0 でないことが同値であることを示す問題です。ただし、$G$ はグラム行列であり、その $(i,j)$ 成分は ${}^tx_i x_j$ で与えられます。 $G = \begin{pmatrix} {}^tx_1x_1 & \cdots & {}^tx_1x_r \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {}^tx_rx_1 & \cdots & {}^tx_rx_r \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

$R^n$ のベクトルの組 $\{x_1, ..., x_r\}$ が一次独立であることと、行列 $G$ の行列式が 0 でないことが同値であることを示す問題です。ただし、$G$ はグラム行列であり、その $(i,j)$ 成分は ${}^tx_i x_j$ で与えられます。

$G = \begin{pmatrix}

{}^tx_1x_1 & \cdots & {}^tx_1x_r \\

\vdots & \ddots & \vdots \\

{}^tx_rx_1 & \cdots & {}^tx_rx_r

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

（→） $\{x_1, ..., x_r\}$ が一次独立であると仮定し、$det(G) \ne 0$ を示す。

　　背理法を用いて、$det(G) = 0$ と仮定する。このとき、$Gx = 0$ となるような自明でないベクトル $x = \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_r \end{pmatrix}$ が存在する。

　　つまり、$G x = 0$ なので、任意の $i$ に対して $\sum_{j=1}^r {}^tx_i x_j c_j = 0$ が成り立つ。

　　この式に $c_i$ をかけて、$i$ について足し合わせると、

　　$\sum_{i=1}^r c_i \sum_{j=1}^r {}^tx_i x_j c_j = 0$

　　$\sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^r c_i {}^tx_i x_j c_j = 0$

　　$\sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^r {}^tc_i x_i x_j c_j = 0$

　　${}^t (\sum_{i=1}^r c_i x_i) (\sum_{j=1}^r c_j x_j) = 0$

　　$\| \sum_{i=1}^r c_i x_i \|^2 = 0$

　　よって、$\sum_{i=1}^r c_i x_i = 0$

　　$x$ は自明でないベクトルだったので、$c_i$ の少なくとも一つは 0 ではない。これは $\{x_1, ..., x_r\}$ が一次独立であるという仮定に矛盾する。

　　したがって、$det(G) \ne 0$ である。

（←） $det(G) \ne 0$ と仮定し、$x_1, ..., x_r$ が一次独立であることを示す。

　　$\sum_{i=1}^r c_i x_i = 0$ と仮定する。このとき、$x_j$ に対して内積を取ると、

　　${}^tx_j (\sum_{i=1}^r c_i x_i) = 0$

　　$\sum_{i=1}^r c_i {}^tx_j x_i = 0$

　　これを全ての $j$ について考えると、

　　$G \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_r \end{pmatrix} = 0$

　　$det(G) \ne 0$ より、$G$ は正則なので、$c_1 = \cdots = c_r = 0$ となる。

　　したがって、$x_1, ..., x_r$ は一次独立である。

3. 最終的な答え

$R^n$ のベクトルの組 $\{x_1, ..., x_r\}$ が一次独立であることと、行列 $G$ の行列式が 0 でないことは同値である。