数列 $1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, \dots$ の第 $n$ 項を $a_n$ とします。 (1) $a_n = 1$ となる $n$ を小さい順に並べてできる数列 $1, 3, 7, 13, 21, \dots$ の第 $k$ 項を $b_k$ とするとき、$b_k$ を求めます。 (2) $a_{1000}$ の値を求めます。 (3) $\sum_{n=1}^{b_k} a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 2, \dots$ の第 $n$ 項を $a_n$ とします。

(1) $a_n = 1$ となる $n$ を小さい順に並べてできる数列 $1, 3, 7, 13, 21, \dots$ の第 $k$ 項を $b_k$ とするとき、$b_k$ を求めます。

(2) $a_{1000}$ の値を求めます。

(3) $\sum_{n=1}^{b_k} a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 数列 $1, 3, 7, 13, 21, \dots$ の階差数列を考えると、$2, 4, 6, 8, \dots$ となります。

この階差数列の一般項は $2(k-1)$ です。

したがって、$b_k$ は

$b_k = b_1 + \sum_{i=1}^{k-1} 2i = 1 + 2 \cdot \frac{(k-1)k}{2} = 1 + k(k-1) = k^2 - k + 1$

となります。

(2) 数列 $\{a_n\}$ の周期を考えます。それぞれの区間は長さが $1, 2, 3, 4, 5, \dots$ であり、区間の長さの和は $m$ 区間までで $\frac{m(m+1)}{2}$ となります。$a_n=1$ となる番号の数列 $b_k = k^2-k+1$ を用います。

$\frac{m(m+1)}{2} < 1000 \le \frac{(m+1)(m+2)}{2}$ を満たす $m$ を求めます。

$m(m+1) < 2000 \le (m+1)(m+2)$

$m^2 + m < 2000 \le m^2+3m+2$

$m$ に近い整数を考えると、$m=44$ のとき、$44 \times 45 = 1980 < 2000$ であり、$45 \times 46 = 2070 > 2000$ です。したがって、$m=44$ となります。

$\frac{44 \cdot 45}{2} = 990$ なので、$a_{1000}$ は 45 番目の区間の 10 番目です。

45 番目の区間は $1, 2, 3, \dots, 45, 44, \dots, 1$ なので、10 番目の数は $10$ です。ただし、区間長が45なので、45番目の区間は $1,2,3, \dots, 45, \dots$ と進むため、もし $10 \le 45$ であれば $a_{1000}=10$ です。

$1000-990=10$ であるので、$a_{1000} = 10$ となります。

(3) $\sum_{n=1}^{b_k} a_n$ を求めます。

$S = \sum_{n=1}^{b_k} a_n$ と置きます。数列 $\{a_n\}$ の区間の長さは $1, 2, 3, \dots, k$ となります。

したがって、$b_k = \frac{k(k+1)}{2}$ であると考えられますが、これは誤りです。$b_k = k^2-k+1$ でした。

$\sum_{n=1}^{b_k} a_n = \sum_{m=1}^{k-1} \sum_{n=1}^m n(m-(n-1)) + \sum_{i=1}^{k}i= \sum_{m=1}^{k-1} \frac{m(m+1)(m+2)}{6} + \frac{k(k+1)}{2}$

$\sum_{n=1}^{b_k} a_n$ を求めるために、数列 $a_n$ を区間ごとに分けて考えます。$k$ 番目の区間までの長さの総和は $\frac{k(k+1)}{2}$ です。$b_k=k^2-k+1$ なので、$b_k$ までには $k$ より短い長さの区間も含まれています。

$\sum_{n=1}^{k} \frac{m(m+1)}{2} = 1+3+6+...+ (n*(n+1)/2)$

$\sum_{m=1}^{k} (\sum_{i=1}^m i + \sum_{i=1}^{m-1}i )= \sum_{n=1}^{k}\frac{m(m+1)}{2}+ sum_{n=1}^{k}\frac{m(m-1)}{2} = sum_{n=1}^{k} m^2 = k(k+1)(2k+1)/6$

3. 最終的な答え

(1) $b_k = k^2 - k + 1$

(2) $a_{1000} = 10$

(3) $\sum_{n=1}^{b_k} a_n = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$