$m$ と $n$ が有理数のとき、$(\sqrt{2} + 1)m + 3 = 3\sqrt{2} + n$ を満たす $m, n$ の組み合わせを求める問題です。選択肢としてA: $m=3, n=6$ と B: $m=-3, n=0$ が与えられています。

1. 問題の内容

$m$ と $n$ が有理数のとき、$(\sqrt{2} + 1)m + 3 = 3\sqrt{2} + n$ を満たす $m, n$ の組み合わせを求める問題です。選択肢としてA: $m=3, n=6$ と B: $m=-3, n=0$ が与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、整理します。

$(\sqrt{2} + 1)m + 3 = 3\sqrt{2} + n$

$m\sqrt{2} + m + 3 = 3\sqrt{2} + n$

$\sqrt{2}$の項とそれ以外の項をそれぞれ比較します。$m$ と $n$ は有理数であるため、$\sqrt{2}$の係数と有理数部分を比較することができます。

$\sqrt{2}$ の係数について:

$m = 3$

定数項について:

$m + 3 = n$

$m = 3$ を $m + 3 = n$ に代入すると、

$3 + 3 = n$

$n = 6$

したがって、$m = 3$ かつ $n = 6$ となります。

3. 最終的な答え

A: $m = 3, n = 6$