90番の問題を解きます。 (1) $\pi < \theta < 2\pi$, $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。 (2) $\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 4$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

90番の問題を解きます。

(1) $\pi < \theta < 2\pi$, $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ のとき、$\sin \theta$ と $\tan \theta$ の値を求めます。

(2) $\theta$ の動径が第3象限にあり、$\tan \theta = 4$ のとき、$\sin \theta$ と $\cos \theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を利用して $\sin \theta$ を求めます。

$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin \theta = \pm \frac{3}{5}$

$\pi < \theta < 2\pi$ なので、$\sin \theta < 0$ となります。

したがって、$\sin \theta = -\frac{3}{5}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$

(2) $1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ を利用して $\cos \theta$ を求めます。

$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + \tan^2 \theta = 1 + 4^2 = 1 + 16 = 17$

$\cos^2 \theta = \frac{1}{17}$

$\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{17}} = \pm \frac{\sqrt{17}}{17}$

$\theta$ の動径が第3象限にあるので、$\cos \theta < 0$ となります。

したがって、$\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ より、$\sin \theta = \tan \theta \cdot \cos \theta = 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{17}}{17}\right) = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta = -\frac{3}{5}$, $\tan \theta = \frac{3}{4}$

(2) $\sin \theta = -\frac{4\sqrt{17}}{17}$, $\cos \theta = -\frac{\sqrt{17}}{17}$