三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = 13$, $CA = 8$ であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $\angle A$ を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ の内接円の半径を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 7$, $BC = 13$, $CA = 8$ であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $\angle A$ を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ の内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\angle A$ を求める。

余弦定理を用いて $\cos A$ を計算します。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \times AB \times CA \times \cos A$

$13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \times 7 \times 8 \times \cos A$

$169 = 49 + 64 - 112 \cos A$

$169 = 113 - 112 \cos A$

$56 = -112 \cos A$

$\cos A = -\frac{56}{112} = -\frac{1}{2}$

したがって、$\angle A = 120^{\circ}$

(2) $\triangle ABC$ の内接円の半径を求める。

$\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めます。

$S = \frac{1}{2} \times AB \times CA \times \sin A$

$A = 120^\circ$ より、$\sin A = \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{1}{2} \times 7 \times 8 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$

また、$s$ を $\triangle ABC$ の半周長とすると、$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{7 + 13 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$

ヘロンの公式より、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{14(14-13)(14-8)(14-7)} = \sqrt{14 \times 1 \times 6 \times 7} = \sqrt{2 \times 7 \times 6 \times 7} = \sqrt{2 \times 6 \times 49} = 7\sqrt{12} = 7 \times 2\sqrt{3} = 14\sqrt{3}$

$\triangle ABC$ の内接円の半径を $r$ とすると、$S = rs$ より、

$14\sqrt{3} = r \times 14$

$r = \frac{14\sqrt{3}}{14} = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\angle A = 120^{\circ}$

(2) $\triangle ABC$ の内接円の半径は $\sqrt{3}$