実数 $t$ をパラメータとする曲線 $C: x^2 + y^2 - 2tx - 2ty + 4t - 4 = 0$ が、$t > 0$ の範囲で動くとき、曲線 $C$ が通過する領域を求め、図示する。

1. 問題の内容

実数 $t$ をパラメータとする曲線 $C: x^2 + y^2 - 2tx - 2ty + 4t - 4 = 0$ が、$t > 0$ の範囲で動くとき、曲線 $C$ が通過する領域を求め、図示する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $C$ の方程式を平方完成します。

$x^2 - 2tx + y^2 - 2ty + 4t - 4 = 0$

$(x - t)^2 - t^2 + (y - t)^2 - t^2 + 4t - 4 = 0$

$(x - t)^2 + (y - t)^2 = 2t^2 - 4t + 4$

よって、曲線 $C$ は中心 $(t, t)$, 半径 $\sqrt{2t^2 - 4t + 4} = \sqrt{2(t-1)^2 + 2}$ の円です。

$t > 0$ の範囲で $t$ が動くとき、この円が通過する領域を求める。

$2t^2 - 4t + 4 \ge 0$ は常に成立します。

領域内の点 $(x, y)$ は、ある $t > 0$ に対して

$(x - t)^2 + (y - t)^2 = 2t^2 - 4t + 4$

を満たす必要があります。

$t$ について整理すると

$x^2 - 2tx + t^2 + y^2 - 2ty + t^2 = 2t^2 - 4t + 4$

$x^2 + y^2 = 2tx + 2ty - 4t + 4$

$(2x + 2y - 4)t = x^2 + y^2 - 4$

$2(x + y - 2)t = x^2 + y^2 - 4$

(1) $x + y - 2 = 0$ のとき、$x^2 + y^2 - 4 = 0$ である必要がある。

$y = 2 - x$ を代入すると、

$x^2 + (2-x)^2 = 4$

$x^2 + 4 - 4x + x^2 = 4$

$2x^2 - 4x = 0$

$2x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

$(x, y) = (0, 2), (2, 0)$

(2) $x + y - 2 \ne 0$ のとき

$t = \frac{x^2 + y^2 - 4}{2(x + y - 2)} > 0$

$x + y - 2 > 0$ のとき、$x^2 + y^2 - 4 > 0$

$x + y - 2 < 0$ のとき、$x^2 + y^2 - 4 < 0$

$x + y > 2$ かつ $x^2 + y^2 > 4$, または $x + y < 2$ かつ $x^2 + y^2 < 4$

境界は $x + y = 2$ と $x^2 + y^2 = 4$

$t > 0$ なので、$x + y - 2 = 0$のときに、$x = 0, 2$つまり$(0,2)$と$(2,0)$を通る。

領域は、$x + y > 2$ かつ $x^2 + y^2 > 4$、または $x + y < 2$ かつ $x^2 + y^2 < 4$の領域および$(0,2)$, $(2,0)$。

3. 最終的な答え

領域: $x + y > 2$ かつ $x^2 + y^2 > 4$、または $x + y < 2$ かつ $x^2 + y^2 < 4$の領域および$(0,2)$, $(2,0)$。

（図示は省略）