2つの直線 $y = -x + 1$ と $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ のなす鋭角 $\theta$ を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $y = -x + 1$ と $y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x$ のなす鋭角 $\theta$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの直線の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とすると、

$m_1 = -1$

$m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$

ここで、$\tan \theta$ の絶対値を取ることで、鋭角を求めることができます。

$\tan \theta = |\frac{-1 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (-1)(-\frac{1}{\sqrt{3}})}| = |\frac{-1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}|$

$\tan \theta = |\frac{-\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1}| = |\frac{(-\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)}| = |\frac{-3 + \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1}{3 - 1}| = |\frac{-4 + 2\sqrt{3}}{2}| = |-2 + \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 2$ は負なので、絶対値をとって$|\frac{-1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}|$を正にする必要があります。

$\tan \theta = |\frac{-1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}}|$

$\tan \theta = |\frac{1/\sqrt{3} - 1}{1/\sqrt{3} + 1}| = |\frac{1-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}/\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}}| = |\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}|$

有理化を行う：

$|\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}| = |\frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}| = |\frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3}| = |\frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2}| = |-2 + \sqrt{3}| = \sqrt{3} - 2$.

これは間違い。

$\tan\theta = | \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$で、鋭角を求めるので、必ず正になります。

$m_1 = -1$と、$m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$なので、

$\tan\theta = |\frac{-1 - (-\frac{1}{\sqrt{3}})}{1 + (-1)(-\frac{1}{\sqrt{3}})}| = |\frac{-1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}| = |\frac{-\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} / \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}| = |\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}|$

ここで有理化を行います。

$|\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}| = |\frac{(1-\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})(1-\sqrt{3})}| = |\frac{1 - 2\sqrt{3} + 3}{1-3}| = |\frac{4 - 2\sqrt{3}}{-2}| = |-2 + \sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}$

$\theta = \frac{\pi}{12} = 15^{\circ}$

$\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{12}$または $15^{\circ}$