円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle B = 60^\circ$のとき、$AC$, $\angle D$, $AD$, 四角形ABCDの面積を求める。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=4$, $BC=3$, $CD=3$, $\angle B = 60^\circ$のとき、$AC$, $\angle D$, $AD$, 四角形ABCDの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) ACを求める。

$\triangle ABC$において、余弦定理より

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$

$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos{60^\circ} = 16 + 9 - 24 \cdot \frac{1}{2} = 25 - 12 = 13$

$AC = \sqrt{13}$

(2) $\angle D$を求める。

四角形ABCDは円に内接するので、$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

(3) ADを求める。

$\triangle ACD$において、余弦定理より

$AD^2 = AC^2 + CD^2 - 2 \cdot AC \cdot CD \cdot \cos{D}$

$AD^2 = (\sqrt{13})^2 + 3^2 - 2 \cdot \sqrt{13} \cdot 3 \cdot \cos{120^\circ} = 13 + 9 - 6\sqrt{13} \cdot (-\frac{1}{2}) = 22 + 3\sqrt{13}$

$AD = \sqrt{22 + 3\sqrt{13}}$

もしくは、トレミーの定理より、

$AB \cdot CD + BC \cdot AD = AC \cdot BD$

$4 \cdot 3 + 3 \cdot AD = \sqrt{13} \cdot BD$

$12 + 3 \cdot AD = \sqrt{13} \cdot BD$

これは使えなさそう。

再度$\triangle ACD$において、余弦定理より

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{D}$

$13 = AD^2 + 3^2 - 2 \cdot AD \cdot 3 \cdot (-\frac{1}{2})$

$13 = AD^2 + 9 + 3AD$

$AD^2 + 3AD - 4 = 0$

$(AD + 4)(AD - 1) = 0$

$AD = 1$ (AD>0なので)

(4) 四角形ABCDの面積を求める。

四角形ABCDの面積は$\triangle ABC$の面積と$\triangle ACD$の面積の和である。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin{B} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot \sin{60^\circ} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD \cdot \sin{D} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{13} \cdot 3 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{3\sqrt{13}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{39}}{4}$

四角形ABCDの面積$= 3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{39}}{4}$

$\triangle ACD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \cdot \sin{D} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \sin{120^\circ} = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$

四角形ABCDの面積$= 3\sqrt{3} + \frac{3\sqrt{3}}{4} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

3. 最終的な答え

$AC = \sqrt{13}$

$\angle D = 120^\circ$

$AD = 1$

四角形ABCDの面積 $= \frac{15\sqrt{3}}{4}$