円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=1, CD=3, DA=4であるとき、∠BADの大きさを求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=1, CD=3, DA=4であるとき、∠BADの大きさを求める問題です。

2. 解き方の手順

四角形ABCDは円に内接するので、∠BCD = 180° - ∠BAD が成り立ちます。

∠BAD = θ とおくと、∠BCD = 180° - θ となります。

四角形ABCDにおいて、余弦定理を2回適用します。

まず、三角形ABDにおいて、BDの長さを求めます。

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot cosθ$

$BD^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot cosθ$

$BD^2 = 9 + 16 - 24cosθ$

$BD^2 = 25 - 24cosθ$

次に、三角形BCDにおいて、BDの長さを求めます。

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot cos(180° - θ)$

$BD^2 = 1^2 + 3^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3 \cdot cos(180° - θ)$

$BD^2 = 1 + 9 - 6 \cdot (-cosθ)$

$BD^2 = 10 + 6cosθ$

したがって、

$25 - 24cosθ = 10 + 6cosθ$

$15 = 30cosθ$

$cosθ = \frac{1}{2}$

$θ = 60°$

3. 最終的な答え

∠BAD = 60°