点 A(2, -1) を通り、ベクトル $\vec{d} = (2, 3)$ に平行な直線の $x, y$ の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

点 A(2, -1) を通り、ベクトル $\vec{d} = (2, 3)$ に平行な直線の $x, y$ の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

直線上の任意の点 P(x, y) に対して、ベクトル $\overrightarrow{AP}$ はベクトル $\vec{d}$ と平行である。

つまり、$\overrightarrow{AP} = t\vec{d}$ を満たす実数 $t$ が存在する。

$\overrightarrow{AP} = (x-2, y-(-1)) = (x-2, y+1)$ であるから、

$(x-2, y+1) = t(2, 3) = (2t, 3t)$

したがって、

$x-2 = 2t$

$y+1 = 3t$

これらの式から $t$ を消去する。

$t = \frac{x-2}{2}$

$t = \frac{y+1}{3}$

$\frac{x-2}{2} = \frac{y+1}{3}$

両辺に6を掛けて

$3(x-2) = 2(y+1)$

$3x - 6 = 2y + 2$

$3x - 2y - 8 = 0$

3. 最終的な答え

$3x - 2y - 8 = 0$