平面上に3つの直線 $l:3x-y-1=0$, $m:2x+y-9=0$, $n:x+y-3=0$ がある。$l$ と $m$ の交点を A, $m$ と $n$ の交点を B, $n$ と $l$ の交点を C とおく。 (1) A, B, C の座標を求めよ。 (2) $\angle ABC = \theta$ とおくとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。 (3) $\triangle ABC$ の面積 S を求めよ。 (4) C を通る直線 g は $\triangle ABC$ を面積が等しい2つの部分に分けるという。g の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

平面上に3つの直線 $l:3x-y-1=0$, $m:2x+y-9=0$, $n:x+y-3=0$ がある。$l$ と $m$ の交点を A, $m$ と $n$ の交点を B, $n$ と $l$ の交点を C とおく。

(1) A, B, C の座標を求めよ。

(2) $\angle ABC = \theta$ とおくとき、$\cos \theta$ の値を求めよ。

(3) $\triangle ABC$ の面積 S を求めよ。

(4) C を通る直線 g は $\triangle ABC$ を面積が等しい2つの部分に分けるという。g の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

A は $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式

$3x-y-1=0$

$2x+y-9=0$

を解く。2式を足すと $5x-10=0$ より $x=2$。これを $2x+y-9=0$ に代入すると $4+y-9=0$ より $y=5$。よって $A(2,5)$。

B は $m$ と $n$ の交点なので、連立方程式

$2x+y-9=0$

$x+y-3=0$

を解く。上の式から下の式を引くと $x-6=0$ より $x=6$。これを $x+y-3=0$ に代入すると $6+y-3=0$ より $y=-3$。よって $B(6,-3)$。

C は $n$ と $l$ の交点なので、連立方程式

$x+y-3=0$

$3x-y-1=0$

を解く。2式を足すと $4x-4=0$ より $x=1$。これを $x+y-3=0$ に代入すると $1+y-3=0$ より $y=2$。よって $C(1,2)$。

(2)

$\vec{BA} = \vec{OA} - \vec{OB} = (2,5) - (6,-3) = (-4, 8)$

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (1,2) - (6,-3) = (-5, 5)$

$\cos \theta = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}||\vec{BC}|} = \frac{(-4)(-5) + (8)(5)}{\sqrt{(-4)^2+8^2}\sqrt{(-5)^2+5^2}} = \frac{20+40}{\sqrt{16+64}\sqrt{25+25}} = \frac{60}{\sqrt{80}\sqrt{50}} = \frac{60}{\sqrt{4000}} = \frac{60}{20\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(3)

$\triangle ABC = \frac{1}{2} |(2(-3-2) + 6(2-5) + 1(5-(-3)))| = \frac{1}{2} |(2(-5) + 6(-3) + 1(8))| = \frac{1}{2} |(-10-18+8)| = \frac{1}{2} |-20| = 10$

(4)

直線 g は C(1,2) を通るので $y-2 = m(x-1)$ つまり $y=mx-m+2$ と表せる。

直線 g が $\triangle ABC$ の面積を二等分するということは、直線 g が辺 AB の中点 M を通るということである。

M の座標は $(\frac{2+6}{2}, \frac{5-3}{2}) = (4,1)$

C と M を通る直線の方程式は、

傾き $m = \frac{1-2}{4-1} = -\frac{1}{3}$

$y-2 = -\frac{1}{3}(x-1)$

$3(y-2) = -(x-1)$

$3y-6 = -x+1$

$x+3y-7=0$

3. 最終的な答え

(1) A(2,5), B(6,-3), C(1,2)

(2) $\cos \theta = \frac{3\sqrt{10}}{10}$

(3) S = 10

(4) $x+3y-7=0$