平面上に3つの直線 $l: 3x - y - 1 = 0$, $m: 2x + y - 9 = 0$, $n: x + y - 3 = 0$ があります。直線 $l$ と $m$ の交点を A, $m$ と $n$ の交点を B, $n$ と $l$ の交点を C とします。以下の問いに答えます。 (1) 点 A, B, C の座標を求めます。 (2) $\angle ABC = \theta$ とおくとき、$\cos\theta$ の値を求めます。 (3) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めます。 (4) 点 C を通る直線 $g$ は $\triangle ABC$ の面積を等しい2つの部分に分けるとき、$g$ の方程式を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

平面上に3つの直線 $l: 3x - y - 1 = 0$, $m: 2x + y - 9 = 0$, $n: x + y - 3 = 0$ があります。直線 $l$ と $m$ の交点を A, $m$ と $n$ の交点を B, $n$ と $l$ の交点を C とします。以下の問いに答えます。

(1) 点 A, B, C の座標を求めます。

(2) $\angle ABC = \theta$ とおくとき、$\cos\theta$ の値を求めます。

(3) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めます。

(4) 点 C を通る直線 $g$ は $\triangle ABC$ の面積を等しい2つの部分に分けるとき、$g$ の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C の座標を求める。

* 点Aは直線$l$と$m$の交点なので、連立方程式を解きます。

$3x - y - 1 = 0$ と $2x + y - 9 = 0$ を解くと、

$5x - 10 = 0$ より $x = 2$。これを $2x + y - 9 = 0$ に代入して $4 + y - 9 = 0$ より $y = 5$。

よって、A(2, 5)。

* 点Bは直線$m$と$n$の交点なので、連立方程式を解きます。

$2x + y - 9 = 0$ と $x + y - 3 = 0$ を解くと、

$x - 6 = 0$ より $x = 6$。これを $x + y - 3 = 0$ に代入して $6 + y - 3 = 0$ より $y = -3$。

よって、B(6, -3)。

* 点Cは直線$n$と$l$の交点なので、連立方程式を解きます。

$x + y - 3 = 0$ と $3x - y - 1 = 0$ を解くと、

$4x - 4 = 0$ より $x = 1$。これを $x + y - 3 = 0$ に代入して $1 + y - 3 = 0$ より $y = 2$。

よって、C(1, 2)。

(2) $\angle ABC = \theta$ とおくとき、$\cos\theta$ の値を求める。

* ベクトル $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OB} = (2 - 6, 5 - (-3)) = (-4, 8)$

* ベクトル $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB} = (1 - 6, 2 - (-3)) = (-5, 5)$

* $\cos\theta = \dfrac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$

$= \dfrac{(-4)(-5) + (8)(5)}{\sqrt{(-4)^2 + 8^2}\sqrt{(-5)^2 + 5^2}} = \dfrac{20 + 40}{\sqrt{16 + 64}\sqrt{25 + 25}} = \dfrac{60}{\sqrt{80}\sqrt{50}} = \dfrac{60}{\sqrt{4000}} = \dfrac{60}{20\sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}$

(3) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求める。

* $S = \dfrac{1}{2} |\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}| \sin\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\dfrac{3}{\sqrt{10}})^2 = 1 - \dfrac{9}{10} = \dfrac{1}{10}$

$\sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$S = \dfrac{1}{2} \sqrt{80} \sqrt{50} \dfrac{1}{\sqrt{10}} = \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{80 \cdot 50}{10}} = \dfrac{1}{2} \sqrt{400} = \dfrac{1}{2} \cdot 20 = 10$

* または、$S = \dfrac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_B - y_A) - (x_A - x_B)(y_C - y_A)|$

$S = \dfrac{1}{2} |(2-1)(-3-5) - (2-6)(2-5)| = \dfrac{1}{2} |1(-8) - (-4)(-3)| = \dfrac{1}{2} |-8 - 12| = \dfrac{1}{2} |-20| = 10$

(4) 点 C を通る直線 $g$ は $\triangle ABC$ の面積を等しい2つの部分に分けるとき、$g$ の方程式を求める。

* 直線 $g$ は点 C(1, 2) を通るので、$g$ の方程式は $y - 2 = m(x - 1)$ と表せる。つまり $y = mx - m + 2$。

* 直線 $g$ が辺 AB と交わるとする。交点を D とおく。

* $\triangle ABC$ の面積を直線 $g$ が二等分するので、$\triangle ADC$ の面積は $\triangle ABC$ の面積の半分、つまり5になる。

* 直線 $AB$ の方程式を求める。傾きは $\dfrac{5 - (-3)}{2 - 6} = \dfrac{8}{-4} = -2$ なので、$y - 5 = -2(x - 2)$ より $y = -2x + 9$。

* 直線 $g$ と直線 $AB$ の交点 D の座標を求める。

$-2x + 9 = mx - m + 2$ より $(m + 2)x = m + 7$。

$x = \dfrac{m + 7}{m + 2}$。$y = -2(\dfrac{m + 7}{m + 2}) + 9 = \dfrac{-2m - 14 + 9m + 18}{m + 2} = \dfrac{7m + 4}{m + 2}$

D の座標は $(\dfrac{m + 7}{m + 2}, \dfrac{7m + 4}{m + 2})$

* $\triangle ADC$ の面積が 5 であることを利用して、$m$ を求める。

$S_{\triangle ADC} = \dfrac{1}{2} |(x_A - x_C)(y_D - y_A) - (x_A - x_D)(y_C - y_A)| = 5$

$|(2 - 1)(\dfrac{7m + 4}{m + 2} - 5) - (2 - \dfrac{m + 7}{m + 2})(2 - 5)| = 10$

$|\dfrac{7m + 4 - 5m - 10}{m + 2} - (\dfrac{2m + 4 - m - 7}{m + 2})(-3)| = 10$

$|\dfrac{2m - 6}{m + 2} - (\dfrac{m - 3}{m + 2})(-3)| = 10$

$|\dfrac{2m - 6 + 3m - 9}{m + 2}| = 10$

$|\dfrac{5m - 15}{m + 2}| = 10$

$|5m - 15| = 10|m + 2|$

$5|m - 3| = 10|m + 2|$

$|m - 3| = 2|m + 2|$

(i) $m - 3 = 2(m + 2)$ のとき $m - 3 = 2m + 4$ より $m = -7$。

(ii) $m - 3 = -2(m + 2)$ のとき $m - 3 = -2m - 4$ より $3m = -1$ で $m = -\dfrac{1}{3}$。

直線の方程式を求めます。

(i) $m = -7$ のとき $y = -7x + 7 + 2$ より $y = -7x + 9$

(ii) $m = -\dfrac{1}{3}$ のとき $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3} + 2$ より $y = -\dfrac{1}{3}x + \dfrac{7}{3}$。すなわち $x + 3y - 7 = 0$

3. 最終的な答え

(1) A(2, 5), B(6, -3), C(1, 2)

(2) $\cos\theta = \dfrac{3\sqrt{10}}{10}$

(3) $S = 10$

(4) $y = -7x + 9$ または $x + 3y - 7 = 0$