三角形ABCにおいて、AB = 8, BC = x, CA = 6 である。(1) xの取りうる値の範囲を求める。また、三角形ABCが鋭角三角形になるときのxの値の範囲を求める。(2) x = 7とする。また、三角形ABCの頂点B, Cから対辺に垂線BD, CEを下ろし、直線BDとCEの交点をFとする。(i) cos∠BACの値を求め、線分DEの長さを求めよ。(ii) 線分AFの長さを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB = 8, BC = x, CA = 6 である。(1) xの取りうる値の範囲を求める。また、三角形ABCが鋭角三角形になるときのxの値の範囲を求める。(2) x = 7とする。また、三角形ABCの頂点B, Cから対辺に垂線BD, CEを下ろし、直線BDとCEの交点をFとする。(i) cos∠BACの値を求め、線分DEの長さを求めよ。(ii) 線分AFの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* 三角形の成立条件より、$|8-6| < x < 8+6$が成り立つ。

* したがって、$2 < x < 14$。

* 次に、三角形ABCが鋭角三角形になる条件を考える。

* $AB^2 + BC^2 > CA^2$ より、$8^2 + x^2 > 6^2$、つまり、$x^2 > 36 - 64 = -28$。これは常に成立する。

* $BC^2 + CA^2 > AB^2$ より、$x^2 + 6^2 > 8^2$、つまり、$x^2 > 64 - 36 = 28$。よって、$x > \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$。

* $CA^2 + AB^2 > BC^2$ より、$6^2 + 8^2 > x^2$、つまり、$x^2 < 36 + 64 = 100$。よって、$x < 10$。

* したがって、$2\sqrt{7} < x < 10$。

(2) x=7とする。

(i)

* 余弦定理より、$cos∠BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{8^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{64+36-49}{96} = \frac{51}{96} = \frac{17}{32}$

* 三角形ADEと三角形ABCは相似であり、その相似比は$\frac{AD}{AB} = cos∠BAC$である。よって、$DE = BC cos∠BAC = 7 \cdot \frac{17}{32} = \frac{119}{32}$

(ii)

* ∠BEC = ∠BDC = 90°であるから、四角形AEDFは円に内接する。したがって、∠AFE = ∠ADE = ∠C (弧AEに対する円周角) であるから, △ABF∽△ACE である。

* ∠ABD + ∠BAD = 90°で、∠ACE + ∠CAE = 90°より、∠ABD = ∠ACEである。

* $cos∠BAC = \frac{17}{32}$より、$sin∠BAC = \sqrt{1 - cos^2∠BAC} = \sqrt{1 - (\frac{17}{32})^2} = \sqrt{\frac{1024 - 289}{1024}} = \sqrt{\frac{735}{1024}} = \frac{\sqrt{735}}{32}$

* $BE = AB sin∠BAC = 8 \frac{\sqrt{735}}{32} = \frac{\sqrt{735}}{4}$

* $BF = \frac{BE}{cos∠ABC} = \frac{BE}{\frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2AB \cdot BC}} = \frac{\frac{\sqrt{735}}{4}}{\frac{8^2 + 7^2 - 6^2}{2 \cdot 8 \cdot 7}} = \frac{\frac{\sqrt{735}}{4}}{\frac{64 + 49 - 36}{112}} = \frac{\frac{\sqrt{735}}{4}}{\frac{77}{112}} = \frac{\sqrt{735}}{4} \cdot \frac{112}{77} = \frac{28\sqrt{735}}{77} = \frac{4\sqrt{735}}{11}$

* $AF = AB-BF = 8 - \frac{4 \sqrt{735}}{11} = \frac{88 - 4\sqrt{735}}{11} \approx 0.15$

3. 最終的な答え

(1) $2 < x < 14$, $2\sqrt{7} < x < 10$

(2) (i) $cos∠BAC = \frac{17}{32}$, $DE = \frac{119}{32}$

(ii) $AF = \frac{88-4\sqrt{735}}{11}$