放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に点 A(-1, $\frac{1}{2}$) と点 B(3, $\frac{9}{2}$) がある。放物線上で x 座標が -1 より小さい範囲を動く点 P を考える。三角形 PAB と三角形 POB の面積が等しくなるとき、点 P の座標を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = \frac{1}{2}x^2$ 上に点 A(-1, $\frac{1}{2}$) と点 B(3, $\frac{9}{2}$) がある。放物線上で x 座標が -1 より小さい範囲を動く点 P を考える。三角形 PAB と三角形 POB の面積が等しくなるとき、点 P の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 A と点 B の座標を求める。

点 A は $y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあり、$x = -1$ なので、

$y = \frac{1}{2} \cdot (-1)^2 = \frac{1}{2}$

よって、A(-1, $\frac{1}{2}$)

点 B は $y = \frac{1}{2}x^2$ 上にあり、$x = 3$ なので、

$y = \frac{1}{2} \cdot 3^2 = \frac{9}{2}$

よって、B(3, $\frac{9}{2}$)

次に、OA // BP となるような点 P をとると、三角形 PAB と三角形 POB の面積が等しくなる。

直線 OA の傾きは、$\frac{\frac{1}{2} - 0}{-1 - 0} = -\frac{1}{2}$ なので、直線 OA の式は $y = -\frac{1}{2}x$ である。

直線 BP は直線 OA と傾きが同じなので、$y = -\frac{1}{2}x + b$ と表せる。

これが B(3, $\frac{9}{2}$) を通るので、

$\frac{9}{2} = -\frac{1}{2} \cdot 3 + b$

$\frac{9}{2} = -\frac{3}{2} + b$

$b = \frac{9}{2} + \frac{3}{2} = \frac{12}{2} = 6$

よって、直線 BP の式は $y = -\frac{1}{2}x + 6$

点 P の x 座標を $p$ とすると、$y = \frac{1}{2}x^2$ のグラフ上にあるので、P($p$, $\frac{1}{2}p^2$) と表せる。

点 P は直線 BP 上にもあるので、$y = -\frac{1}{2}x + 6$ を満たす。

よって、$\frac{1}{2}p^2 = -\frac{1}{2}p + 6$

$p^2 = -p + 12$

$p^2 + p - 12 = 0$

$(p + 4)(p - 3) = 0$

$p = -4, 3$

$p < -1$ なので、$p = -4$

$y = \frac{1}{2} \cdot (-4)^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8$

3. 最終的な答え

P(-4, 8)