四面体OABCにおいて、$AC = 2$, $BC = \sqrt{7}$, $\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$, $\angle ACO = 30^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$が与えられています。このとき、$AB$の長さと$\tan{\angle ABO}$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$AC = 2$, $BC = \sqrt{7}$, $\angle AOB = \angle AOC = 90^\circ$, $\angle ACO = 30^\circ$, $\angle BAC = 60^\circ$が与えられています。このとき、$AB$の長さと$\tan{\angle ABO}$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

ステップ1: $\triangle ABC$に着目し、$AB$の長さを余弦定理を用いて求める。

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos{\angle BAC}$

$(\sqrt{7})^2 = AB^2 + 2^2 - 2 \cdot AB \cdot 2 \cdot \cos{60^\circ}$

$7 = AB^2 + 4 - 4 \cdot AB \cdot \frac{1}{2}$

$7 = AB^2 + 4 - 2AB$

$AB^2 - 2AB - 3 = 0$

$(AB - 3)(AB + 1) = 0$

$AB = 3$ または $AB = -1$

$AB > 0$より、$AB = 3$

ステップ2: $\triangle OAB$に着目する。$\angle AOB = 90^\circ$なので、三平方の定理より

$AB^2 = OA^2 + OB^2$

$3^2 = OA^2 + OB^2$

$9 = OA^2 + OB^2$

ステップ3: $\triangle OAC$に着目する。$\angle AOC = 90^\circ$なので、三平方の定理より

$AC^2 = OA^2 + OC^2$

$2^2 = OA^2 + OC^2$

$4 = OA^2 + OC^2$

$\triangle OBC$に着目する。$\angle BOC$は与えられていないが、

$BC^2 = OB^2 + OC^2$

$(\sqrt{7})^2 = OB^2 + OC^2$

$7 = OB^2 + OC^2$

ステップ4: $OA$, $OB$, $OC$についての方程式を解く。

$OA^2 + OB^2 = 9$

$OA^2 + OC^2 = 4$

$OB^2 + OC^2 = 7$

(1) - (2) より $OB^2 - OC^2 = 5$

これと (3) を足すと $2OB^2 = 12$ より $OB^2 = 6$

$OB = \sqrt{6}$

$OA^2 = 9 - OB^2 = 9 - 6 = 3$

$OA = \sqrt{3}$

$OC^2 = 4 - OA^2 = 4 - 3 = 1$

$OC = 1$

ステップ5: $\tan{\angle ABO}$を求める。$\triangle OAB$は直角三角形なので、

$\tan{\angle ABO} = \frac{OA}{OB} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

$AB = 3$

$\tan{\angle ABO} = \frac{\sqrt{2}}{2}$