$\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。辺 $AB$ を $3:2$ に内分する点を $E$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点を $F$ とする。このとき、3点 $E, G, F$ が一直線上にあることを示す。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ の重心を $G$ とする。辺 $AB$ を $3:2$ に内分する点を $E$、辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点を $F$ とする。このとき、3点 $E, G, F$ が一直線上にあることを示す。

2. 解き方の手順

ベクトルを用いて解く。点 $A$ を始点とする位置ベクトル $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ をそれぞれ $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}$ とする。

点 $E$ は辺 $AB$ を $3:2$ に内分する点なので、$\vec{E} = \frac{2\vec{A} + 3\vec{B}}{3+2} = \frac{2\vec{A} + 3\vec{B}}{5}$。

点 $F$ は辺 $AC$ を $3:1$ に内分する点なので、$\vec{F} = \frac{1\vec{A} + 3\vec{C}}{3+1} = \frac{\vec{A} + 3\vec{C}}{4}$。

点 $G$ は $\triangle ABC$ の重心なので、$\vec{G} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3}$。

3点 $E, G, F$ が一直線上にあるためには、ある実数 $k$ を用いて $\vec{EG} = k\vec{EF}$ と表せることを示す。

$\vec{EG} = \vec{G} - \vec{E} = \frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}}{3} - \frac{2\vec{A} + 3\vec{B}}{5} = \frac{5(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) - 3(2\vec{A} + 3\vec{B})}{15} = \frac{5\vec{A} + 5\vec{B} + 5\vec{C} - 6\vec{A} - 9\vec{B}}{15} = \frac{-\vec{A} - 4\vec{B} + 5\vec{C}}{15}$

$\vec{EF} = \vec{F} - \vec{E} = \frac{\vec{A} + 3\vec{C}}{4} - \frac{2\vec{A} + 3\vec{B}}{5} = \frac{5(\vec{A} + 3\vec{C}) - 4(2\vec{A} + 3\vec{B})}{20} = \frac{5\vec{A} + 15\vec{C} - 8\vec{A} - 12\vec{B}}{20} = \frac{-3\vec{A} - 12\vec{B} + 15\vec{C}}{20}$

$\vec{EF} = \frac{3}{4} \cdot \frac{-\vec{A} - 4\vec{B} + 5\vec{C}}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{15}{15} \cdot \frac{-\vec{A} - 4\vec{B} + 5\vec{C}}{5} = \frac{3}{4/5}\frac{-\vec{A} - 4\vec{B} + 5\vec{C}}{15}$.

したがって、$\vec{EG} = \frac{1}{15}(-\vec{A} - 4\vec{B} + 5\vec{C})$ であり、$\vec{EF} = \frac{1}{20}(-3\vec{A} - 12\vec{B} + 15\vec{C}) = \frac{3}{20}(-\vec{A} - 4\vec{B} + 5\vec{C})$.

$\vec{EF} = \frac{3}{20} \cdot 15 \cdot \vec{EG} = \frac{9}{4}\vec{EG}$

よって、$\vec{EG} = k \vec{EF}$ を満たす $k = \frac{4}{9}$ が存在するので、3点 $E, G, F$ は一直線上にある。

3. 最終的な答え

3点E, G, Fは一直線上にある。