四面体 $OABC$ において、$OB$ を $3:1$ に内分する点を $P$, $OC$ を $1:1$ に内分する点を $Q$ とする。$\triangle APQ$ の重心を $G$ とし, 直線 $OG$ と平面 $ABC$ の交点を $H$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき, $\vec{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体 $OABC$ において、$OB$ を $3:1$ に内分する点を $P$, $OC$ を $1:1$ に内分する点を $Q$ とする。$\triangle APQ$ の重心を $G$ とし, 直線 $OG$ と平面 $ABC$ の交点を $H$ とする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$ とするとき, $\vec{OH}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず, 点 $G$ の位置ベクトル $\vec{OG}$ を求める。点 $P, Q$ の位置ベクトルはそれぞれ $\vec{OP} = \frac{3}{4} \vec{b}$, $\vec{OQ} = \frac{1}{2} \vec{c}$ であるから,

$$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OP} + \vec{OQ}}{3} = \frac{\vec{a} + \frac{3}{4}\vec{b} + \frac{1}{2}\vec{c}}{3} = \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c}$$

次に, 点 $H$ は直線 $OG$ 上にあるから, 実数 $k$ を用いて $\vec{OH} = k\vec{OG}$ と表せる。

$$\vec{OH} = k \left( \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c} \right) = \frac{k}{3} \vec{a} + \frac{k}{4} \vec{b} + \frac{k}{6} \vec{c}$$

また, 点 $H$ は平面 $ABC$ 上にあるから, $\vec{OH} = s\vec{OA} + t\vec{OB} + u\vec{OC}$ と表せて, $s+t+u=1$ を満たす。

したがって,

$$\vec{OH} = \frac{k}{3} \vec{a} + \frac{k}{4} \vec{b} + \frac{k}{6} \vec{c}$$

より, $s = \frac{k}{3}$, $t = \frac{k}{4}$, $u = \frac{k}{6}$ であるから,

$$\frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{6} = 1$$

$$4k + 3k + 2k = 12$$

$$9k = 12$$

$$k = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$

よって,

$$\vec{OH} = \frac{4}{3} \left( \frac{1}{3} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{6} \vec{c} \right) = \frac{4}{9} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{9} \vec{c}$$

3. 最終的な答え

$\vec{OH} = \frac{4}{9} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{2}{9} \vec{c}$