与えられた式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を因数分解または簡略化してください。

## 問題95

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を因数分解または簡略化してください。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$a(b^2 + 2bc + c^2) + b(c^2 + 2ac + a^2) + c(a^2 + 2ab + b^2) - 4abc$

次に、式を展開します。

$ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 - 4abc$

次に、項をまとめます。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 6abc - 4abc$

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

次に、$a, b, c$ について整理すると、次のようになります。

$a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

ここで、$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開すると、

$(a+b)(bc+ba+c^2+ca) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

したがって、$a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)$ となります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$

## 問題96

1. 問題の内容

与えられた式 $x(x+1)(x+2)(x+3) - 24$ を因数分解または簡略化してください。

2. 解き方の手順

$x(x+1)(x+2)(x+3) - 24$ を変形します。

$x(x+3)(x+1)(x+2) - 24$

$(x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2) - 24$

$y = x^2 + 3x$ と置換すると、

$y(y+2) - 24$

$y^2 + 2y - 24$

この2次式を因数分解します。

$(y+6)(y-4)$

$y$ を $x^2 + 3x$ に戻します。

$(x^2 + 3x + 6)(x^2 + 3x - 4)$

$(x^2 + 3x + 6)(x+4)(x-1)$

3. 最終的な答え

$(x-1)(x+4)(x^2+3x+6)$