与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。 $\begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は次の通りです。

$\begin{bmatrix} 2 & 2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 & -1 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの方法がありますが、ここでは余因子展開を使用します。1行目で展開することを考えます。

$\det(A) = 2 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + (-2) \cdot C_{13} + 1 \cdot C_{14}$

ここで、$C_{ij}$は(i,j)要素の余因子です。余因子は、$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$で計算できます。$M_{ij}$は(i,j)要素の小行列式です。

$M_{11} = \det \begin{bmatrix} 1 & 1 & -2 \\ -1 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & -1 \end{bmatrix} = 1(2(-1) - 2(2)) - 1((-1)(-1) - 1(2)) + (-2)((-1)(2) - 1(1)) = 1(-2-4) - 1(1-2) - 2(-2-1) = -6 + 1 + 6 = 1$

$C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} = 1 \cdot 1 = 1$

$M_{12} = \det \begin{bmatrix} -2 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{bmatrix} = -2(2(-1) - 2(2)) - 1(1(-1) - 2(2)) + (-2)(1(2) - 2(2)) = -2(-2-4) - 1(-1-4) - 2(2-4) = 12 + 5 + 4 = 21$

$C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -1 \cdot 21 = -21$

$M_{13} = \det \begin{bmatrix} -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix} = -2((-1)(-1) - 1(2)) - 1(1(-1) - 2(2)) + (-2)(1(1) - 2(-1)) = -2(1-2) - 1(-1-4) - 2(1+2) = 2 + 5 - 6 = 1$

$C_{13} = (-1)^{1+3} M_{13} = 1 \cdot 1 = 1$

$M_{14} = \det \begin{bmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix} = -2((-1)(2) - 1(2)) - 1(1(2) - 2(2)) + 1(1(1) - 2(-1)) = -2(-2-2) - 1(2-4) + 1(1+2) = 8 + 2 + 3 = 13$

$C_{14} = (-1)^{1+4} M_{14} = -1 \cdot 13 = -13$

$\det(A) = 2(1) + 2(-21) + (-2)(1) + 1(-13) = 2 - 42 - 2 - 13 = -55$

3. 最終的な答え

-55