不等式 $3(x-2) \le 7x - 10$ を満たす全ての $x$ が、不等式 $4(x+a+2) < 9(x+2) - a$ を満たすような、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $3(x-2) \le 7x - 10$ を満たす全ての $x$ が、不等式 $4(x+a+2) < 9(x+2) - a$ を満たすような、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解いて、$x$ の範囲を求める。

最初の不等式：

$3(x-2) \le 7x - 10$

$3x - 6 \le 7x - 10$

$-4x \le -4$

$x \ge 1$

2番目の不等式：

$4(x+a+2) < 9(x+2) - a$

$4x + 4a + 8 < 9x + 18 - a$

$-5x < -5a + 10$

$5x > 5a - 10$

$x > a - 2$

問題文より、$x \ge 1$ を満たす全ての $x$ が $x > a - 2$ を満たす必要がある。

つまり、$x \ge 1$ であるならば、$x > a - 2$ でなければならない。これは、$a - 2 < 1$ であることを意味する。

なぜなら、もし $a - 2 \ge 1$ ならば、$x=1$ は $x > a-2$ を満たさないからである。

したがって、

$a - 2 < 1$

$a < 3$

3. 最終的な答え

$a < 3$