2つの不等式 $\frac{x-1}{3} > \frac{x-2}{5}$ ... ① $2ax \le 3a - a^2$ ... ② がある。ただし、$a$ は 0 でない定数である。 (1) 不等式①を解け。 (2) $a = \sqrt{2}$ のとき、不等式①、②をともに満たす $x$ の値の範囲を求めよ。 (3) 不等式①、②をともに満たす自然数のうち1桁の自然数 $x$ は1つだけあるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2つの不等式

$\frac{x-1}{3} > \frac{x-2}{5}$ ... ①

$2ax \le 3a - a^2$ ... ②

がある。ただし、$a$ は 0 でない定数である。

(1) 不等式①を解け。

(2) $a = \sqrt{2}$ のとき、不等式①、②をともに満たす $x$ の値の範囲を求めよ。

(3) 不等式①、②をともに満たす自然数のうち1桁の自然数 $x$ は1つだけあるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。

$\frac{x-1}{3} > \frac{x-2}{5}$

両辺に15を掛けると

$5(x-1) > 3(x-2)$

$5x - 5 > 3x - 6$

$2x > -1$

$x > -\frac{1}{2}$

(2) $a = \sqrt{2}$ のとき、不等式①、②をともに満たす $x$ の値の範囲を求める。

①より $x > -\frac{1}{2}$

②に $a = \sqrt{2}$ を代入すると

$2\sqrt{2}x \le 3\sqrt{2} - 2$

$x \le \frac{3\sqrt{2} - 2}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2} - 2}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{6 - 2\sqrt{2}}{4} = \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

$x \le \frac{3 - \sqrt{2}}{2} \approx \frac{3 - 1.414}{2} \approx \frac{1.586}{2} \approx 0.793$

したがって、$-\frac{1}{2} < x \le \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

(3) 不等式①、②をともに満たす自然数のうち1桁の自然数 $x$ は1つだけあるとき、$a$ のとりうる値の範囲を求める。

①より $x > -\frac{1}{2}$

②より $2ax \le 3a - a^2$

$x \le \frac{3a - a^2}{2a} = \frac{3 - a}{2}$

$x > -\frac{1}{2}$を満たす1桁の自然数は1から9。

条件より、不等式①、②をともに満たす1桁の自然数 $x$ が1つだけ存在するので、その自然数は1である。

したがって、$1 \le \frac{3-a}{2} < 2$

$2 \le 3 - a < 4$

$-1 \le -a < 1$

$-1 < a \le 1$

ただし、$a \ne 0$ なので、$-1 < a < 0$ または $0 < a \le 1$

$x=1$ のとき，$1 \le \frac{3-a}{2}$ だから $a \le 1$

$x=2$ のとき，$2 > \frac{3-a}{2}$ だから $a > -1$

$x$ が1つだけなので、$1$ は条件を満たし、$2$ は条件を満たさない。

よって，$x > \frac{3-a}{2}$ となる最小の整数が $2$ となればよい。

$\frac{3-a}{2} < 2$ を満たすとき，$a > -1$

もし，$\frac{3-a}{2} = 2$ であれば，$x \le 2$なので，$x=1$と$x=2$が条件を満たしてしまうので，不適．

$\frac{3-a}{2} = 1$ であれば，$a=1$

$a=1$ のとき，$x \le \frac{3-1}{2} = 1$なので，$x=1$だけを満たす．

$\frac{3-a}{2} < 2$ を満たし，$\frac{3-a}{2} \ge 1$ を満たす

$-1 < a \le 1$

ただし，$a \ne 0$

よって，$-1 < a < 0$または$0 < a \le 1$

3. 最終的な答え

(1) $x > -\frac{1}{2}$

(2) $-\frac{1}{2} < x \le \frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

(3) $-1 < a < 0$ または $0 < a \le 1$