$|x-2a| \le 1$ を満たす全ての $x$ が $\frac{1}{3}x+1 < -\frac{1}{2}a - \frac{x}{6}$ を満たすように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$|x-2a| \le 1$ を満たす全ての $x$ が $\frac{1}{3}x+1 < -\frac{1}{2}a - \frac{x}{6}$ を満たすように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|x-2a| \le 1$ から $x$ の範囲を求める。絶対値の不等式を解くと、

$-1 \le x-2a \le 1$

$2a-1 \le x \le 2a+1$

次に、$\frac{1}{3}x+1 < -\frac{1}{2}a - \frac{x}{6}$ を $x$ について解く。

$\frac{1}{3}x + \frac{x}{6} < -\frac{1}{2}a - 1$

$\frac{2x+x}{6} < -\frac{1}{2}a - 1$

$\frac{3x}{6} < -\frac{1}{2}a - 1$

$\frac{x}{2} < -\frac{1}{2}a - 1$

$x < -a - 2$

問題文より、$2a-1 \le x \le 2a+1$ を満たす全ての $x$ が $x < -a - 2$ を満たす必要があるので、

$2a+1 < -a-2$ であれば良い。

$2a + a < -2 - 1$

$3a < -3$

$a < -1$

3. 最終的な答え

$a < -1$