P地点とQ地点を結ぶ道がある。A君はP地点からQ地点へ、B君はQ地点からP地点へ向かって同時に出発した。A君は10分走るごとに5分休み、B君は5分走るごとに5分休む。出発から55分後、2人は道の真ん中で同時に出会った。B君の速さはA君の速さより毎分50m速い。A君とB君の分速をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

P地点とQ地点を結ぶ道がある。A君はP地点からQ地点へ、B君はQ地点からP地点へ向かって同時に出発した。A君は10分走るごとに5分休み、B君は5分走るごとに5分休む。出発から55分後、2人は道の真ん中で同時に出会った。B君の速さはA君の速さより毎分50m速い。A君とB君の分速をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

A君の分速を$x$ (m/分)、B君の分速を$y$ (m/分)とする。

B君の速さはA君の速さより毎分50m速いので、

$y = x + 50$

2人が出会うまでにかかった時間は55分。

A君は10分走って5分休むので、55分間に10分走る区間を5回と5分走る区間があり、最後に5分走って終わる。

A君は10分走って5分休む区間を3回繰り返すと、30分走って15分休む。4回繰り返すと、40分走って20分休む。5回繰り返すと、50分走って25分休むことになるが、実際には55分で終わっているので、最後に5分走る時間が加わる。A君の走った時間は、

$10 \times 3 + 5 = 30 + 5 = 35$ 分である。

A君が55分間で走った時間は$10 \times \lfloor \frac{55}{15} \rfloor + \text{min}(10, 55 \mod 15) = 10 \times 3 + 10 = 40$ 分ではない。なぜなら、A君は途中で休むからだ。

A君の走った時間は、55分間で10分走って5分休むことを繰り返すので、

55分 = 10分 + 5分 + 10分 + 5分 + 10分 + 5分 + 10分 + 5分 + 5分

よって、走った時間は $10 + 10 + 10 + 10 + 5 = 45$分ではない。A君の走った時間は $55 - (5+5+5+5) = 55 - 20 = 35$分。

B君は5分走って5分休むので、55分間に5分走る区間を11回。

B君の走った時間は、55分間で5分走って5分休むことを繰り返すので、

走った時間は $55 - 5 \times \lfloor \frac{55}{10} \rfloor = 55 - 5 \times 5 = 55 - 25 = 30$分。

道の真ん中で出会ったので、A君とB君の走った距離は等しい。よって、

$35x = 30y$

$y = x + 50$を代入して、

$35x = 30(x + 50)$

$35x = 30x + 1500$

$5x = 1500$

$x = 300$

$y = 300 + 50 = 350$

3. 最終的な答え

A君の分速は 300 m

B君の分速は 350 m