点$(6, 3, -4)$を通り、ベクトル$(-1, 1, 4)$に平行な直線$l$と、点$(2, 4, 6)$を中心とする半径3の球面との交点の座標を求めよ。

1. 問題の内容

点$(6, 3, -4)$を通り、ベクトル$(-1, 1, 4)$に平行な直線$l$と、点$(2, 4, 6)$を中心とする半径3の球面との交点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線$l$をパラメータ表示します。直線$l$上の点を$(x, y, z)$とすると、

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\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - t \\ 3 + t \\ -4 + 4t \end{pmatrix}

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したがって、$x = 6 - t$, $y = 3 + t$, $z = -4 + 4t$となります。

次に、中心$(2, 4, 6)$、半径3の球面の方程式は、

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(x - 2)^2 + (y - 4)^2 + (z - 6)^2 = 3^2 = 9

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直線$l$と球面の交点を求めるために、直線$l$のパラメータ表示を球面の方程式に代入します。

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(6 - t - 2)^2 + (3 + t - 4)^2 + (-4 + 4t - 6)^2 = 9 \\

(4 - t)^2 + (t - 1)^2 + (4t - 10)^2 = 9 \\

16 - 8t + t^2 + t^2 - 2t + 1 + 16t^2 - 80t + 100 = 9 \\

18t^2 - 90t + 117 = 9 \\

18t^2 - 90t + 108 = 0 \\

2t^2 - 10t + 12 = 0 \\

t^2 - 5t + 6 = 0 \\

(t - 2)(t - 3) = 0

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よって、$t = 2$または$t = 3$となります。

$t = 2$のとき、

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x = 6 - 2 = 4 \\

y = 3 + 2 = 5 \\

z = -4 + 4(2) = -4 + 8 = 4

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交点の座標は$(4, 5, 4)$です。

$t = 3$のとき、

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x = 6 - 3 = 3 \\

y = 3 + 3 = 6 \\

z = -4 + 4(3) = -4 + 12 = 8

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交点の座標は$(3, 6, 8)$です。

3. 最終的な答え

求める交点の座標は、$(4, 5, 4)$と$(3, 6, 8)$です。