11番 (1) $\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}-\tan\alpha$ を簡単にせよ。 (2) $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよ。 (3) $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$ の値を求めよ。 (4) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求めよ。 12番 $\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$ $(0^\circ < \theta < 180^\circ)$ のとき (1) $\sin\theta + \cos\theta$ の値を求めよ。 (2) $\cos\theta - \sin\theta$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

11番

(1) $\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}-\tan\alpha$ を簡単にせよ。

(2) $\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$ のとき、$\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよ。

(3) $(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$ の値を求めよ。

(4) $\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\sin^3\theta - \cos^3\theta$ の値を求めよ。

12番

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2}$ $(0^\circ < \theta < 180^\circ)$ のとき

(1) $\sin\theta + \cos\theta$ の値を求めよ。

(2) $\cos\theta - \sin\theta$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

11番

(1)

$\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha}-\tan\alpha = \frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} - \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

$= \frac{\cos^2\alpha - \sin\alpha(1-\sin\alpha)}{(1-\sin\alpha)\cos\alpha}$

$= \frac{\cos^2\alpha - \sin\alpha + \sin^2\alpha}{(1-\sin\alpha)\cos\alpha}$

$= \frac{1-\sin\alpha}{(1-\sin\alpha)\cos\alpha}$

$= \frac{1}{\cos\alpha}$

$= \frac{1}{\cos\alpha}$

(2)

$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = (\sqrt{2})^2$

$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 2$

$1 + 2\sin\theta\cos\theta = 2$

$2\sin\theta\cos\theta = 1$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{2}$

(3)

$(1-\sin\theta)(1+\sin\theta) - \frac{1}{1+\tan^2\theta} = 1 - \sin^2\theta - \frac{1}{1+\tan^2\theta}$

$= \cos^2\theta - \frac{1}{\frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta}}$

$= \cos^2\theta - \cos^2\theta$

$= 0$

(4)

$\sin\theta - \cos\theta = \frac{1}{2}$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\sin\theta - \cos\theta)(\sin^2\theta + \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$

$= (\sin\theta - \cos\theta)(1 + \sin\theta\cos\theta)$

$(\sin\theta - \cos\theta)^2 = \sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = \frac{1}{4}$

$2\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{4}$

$\sin\theta\cos\theta = \frac{3}{8}$

$\sin^3\theta - \cos^3\theta = (\frac{1}{2})(1+\frac{3}{8}) = \frac{1}{2} \times \frac{11}{8} = \frac{11}{16}$

12番

(1)

$(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 1 + 2\sin\theta\cos\theta = 1 + 2(-\frac{1}{2}) = 1 - 1 = 0$

$\sin\theta + \cos\theta = 0$

(2)

$(\cos\theta - \sin\theta)^2 = \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta = 1 - 2\sin\theta\cos\theta = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$

$\cos\theta - \sin\theta = \pm\sqrt{2}$

$\sin\theta\cos\theta = -\frac{1}{2} < 0$ かつ $0^\circ < \theta < 180^\circ$ より、$\sin\theta > 0$ なので、$\cos\theta < 0$ である。よって、$\cos\theta - \sin\theta < 0$ であるから、$\cos\theta - \sin\theta = -\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

11番

(1) $\frac{1}{\cos\alpha}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $0$

(4) $\frac{11}{16}$

12番

(1) $0$

(2) $-\sqrt{2}$