円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=1, CD=3, DA=4であるとき、∠BADの大きさを求めよ。

## 問題8

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=1, CD=3, DA=4であるとき、∠BADの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

四角形ABCDは円に内接しているので、向かい合う角の和は180度になる。したがって、∠BCD = 180° - ∠BADとなる。

ここで、余弦定理を用いて、ACの長さを2通りで表現し、∠BADに関する方程式を立てて解く。

まず、三角形ABCについて余弦定理を用いると、

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 3^2 + 1^2 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot \cos{\angle ABC}$

$AC^2 = 10 - 6\cos{\angle ABC}$

次に、三角形ADCについて余弦定理を用いると、

$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos{\angle ADC}$

$AC^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos{\angle ADC}$

$AC^2 = 25 - 24\cos{\angle ADC}$

円に内接する四角形の性質より、$\angle ADC = 180^\circ - \angle ABC$だから、$\cos{\angle ADC} = -\cos{\angle ABC}$

よって、$AC^2 = 25 + 24\cos{\angle ABC}$

これらを連立して解くと、

$10 - 6\cos{\angle ABC} = 25 + 24\cos{\angle ABC}$

$-15 = 30\cos{\angle ABC}$

$\cos{\angle ABC} = -\frac{1}{2}$

$\angle ABC = 120^\circ$

ここで四角形ABCDは円に内接するので、∠ABC + ∠ADC = 180度。

よって、∠ADC = 180 - 120 = 60度

再び、三角形ABCについて余弦定理より、

$AC^2 = 10 - 6\cos{120^\circ} = 10 - 6(-\frac{1}{2}) = 10 + 3 = 13$

$AC = \sqrt{13}$

最後に、三角形ABDについて余弦定理より、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos{\angle BAD}$

$AC^2 = 3^2 + 4^2 - 2*3*4 \cos ∠BAD$

$13=9+16-24 cos∠BAD$

$24 cos∠BAD = 12$

$cos∠BAD = 1/2$

従って、∠BAD = 60°

3. 最終的な答え

∠BAD = 60°

## 問題9

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, BC=13, CA=8であるとき、(1) ∠Aを求めよ。(2) 三角形ABCの内接円の半径を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ∠Aを求める

余弦定理を用いて∠Aを求める。

$BC^2 = AB^2 + CA^2 - 2 \cdot AB \cdot CA \cdot \cos{A}$

$13^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos{A}$

$169 = 49 + 64 - 112 \cos{A}$

$169 = 113 - 112 \cos{A}$

$56 = -112 \cos{A}$

$\cos{A} = -\frac{1}{2}$

したがって、$A = 120^\circ$

(2) 三角形ABCの内接円の半径を求める

まず、三角形ABCの面積Sを求める。

$S = \frac{1}{2} AB \cdot AC \cdot \sin{A}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot \sin{120^\circ}$

$S = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$

次に、三角形ABCの半周の長さsを求める。

$s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{7 + 13 + 8}{2} = \frac{28}{2} = 14$

内接円の半径をrとすると、三角形の面積は $S = rs$で表される。

$14\sqrt{3} = r \cdot 14$

$r = \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) ∠A = 120°

(2) 内接円の半径 = $\sqrt{3}$